Как можно доказать равенство: sin^4a - sin^2a = cos^4a - cos^2a?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества доказательство равенства алгебра 9 класс тригонометрические функции sin и cos уравнение sin^4a уравнение cos^4a алгебраические преобразования Новый

Чтобы доказать равенство sin^4(a) - sin^2(a) = cos^4(a) - cos^2(a), начнем с преобразования обеих сторон уравнения. Мы можем использовать некоторые алгебраические преобразования и тригонометрические тождества.

1. Начнем с левой части уравнения:

• sin^4(a) - sin^2(a) можно представить как:
• sin^2(a) * (sin^2(a) - 1)

2. Заметим, что sin^2(a) - 1 = -cos^2(a) (по тождеству sin^2(a) + cos^2(a) = 1). Подставим это в выражение:

• sin^2(a) * (-cos^2(a)) = -sin^2(a) * cos^2(a)

Таким образом, левая часть уравнения становится:

sin^4(a) - sin^2(a) = -sin^2(a) * cos^2(a)

3. Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

• cos^4(a) - cos^2(a) можно представить как:
• cos^2(a) * (cos^2(a) - 1)

4. Аналогично, cos^2(a) - 1 = -sin^2(a). Подставим это в выражение:

• cos^2(a) * (-sin^2(a)) = -cos^2(a) * sin^2(a)

Таким образом, правая часть уравнения становится:

cos^4(a) - cos^2(a) = -cos^2(a) * sin^2(a)

5. Теперь мы можем записать обе части уравнения:

• Левая часть: -sin^2(a) * cos^2(a)
• Правая часть: -cos^2(a) * sin^2(a)

6. Мы видим, что обе части равны:

-sin^2(a) cos^2(a) = -cos^2(a) sin^2(a)

Таким образом, мы доказали равенство sin^4(a) - sin^2(a) = cos^4(a) - cos^2(a).