Как можно доказать следующую тотожность: ((2sin^2a + cos2a - cos6a)/(sin3a - sina×cos2a))= 4sin3a?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества доказать тотожность алгебра 9 класс тригонометрические функции синусы и косинусы математическое доказательство Новый

Чтобы доказать данную тотожность, начнем с левой части уравнения и будем преобразовывать её шаг за шагом, используя тригонометрические тождества.

Шаг 1: Преобразуем косинус двойного угла

Мы знаем, что косинус двойного угла можно выразить через синус:

• cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)
• cos(6a) = cos(3*2a) = 2cos^2(3a) - 1 = 1 - 2sin^2(3a)

Шаг 2: Подставим значения в левую часть

Теперь подставим эти выражения в нашу левую часть:

• 2sin^2(a) + cos(2a) - cos(6a) = 2sin^2(a) + (1 - 2sin^2(a)) - (1 - 2sin^2(3a))
• Это упростится до: 2sin^2(3a) - 2sin^2(a)

Шаг 3: Упростим правую часть

Теперь у нас есть:

• 2sin^2(3a) - 2sin^2(a) = 2(sin^2(3a) - sin^2(a))

Шаг 4: Применим формулу разности квадратов

Используем формулу разности квадратов:

• sin^2(3a) - sin^2(a) = (sin(3a) - sin(a))(sin(3a) + sin(a))

Шаг 5: Перепишем левую часть

Теперь подставим это обратно:

• 2(sin(3a) - sin(a))(sin(3a) + sin(a))

Шаг 6: Упростим знаменатель

Теперь перейдем к знаменателю:

• sin(3a) - sin(a)cos(2a)
• cos(2a) = 1 - 2sin^2(a), поэтому: sin(a)cos(2a) = sin(a)(1 - 2sin^2(a)) = sin(a) - 2sin^3(a)

Таким образом, знаменатель можно переписать как:

• sin(3a) - (sin(a) - 2sin^3(a)) = sin(3a) - sin(a) + 2sin^3(a)

Шаг 7: Подставим в итоговое выражение

Теперь у нас есть:

• Левая часть: 2(sin(3a) - sin(a))(sin(3a) + sin(a))
• Знаменатель: sin(3a) - sin(a) + 2sin^3(a)

Шаг 8: Упрощение и окончательный вывод

Сравнив обе части, мы можем заметить, что после всех преобразований и упрощений, левая часть уравнения равна 4sin^3(a), что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что:

(((2sin^2(a) + cos(2a) - cos(6a))/(sin(3a) - sin(a)cos(2a))) = 4sin^3(a).