Как можно доказать следующую тотожность: ((2sin^2a + cos2a - cos6a)/(sin3a - sina×cos2a)) = 4sin3a?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества доказать тотожность алгебра 9 класс тригонометрические функции синусы и косинусы математические доказательства Новый

Чтобы доказать данную тотожность, начнем с левой части уравнения и постараемся преобразовать её так, чтобы она стала равной правой части. Тотожность, которую мы хотим доказать, выглядит следующим образом:

((2sin^2a + cos2a - cos6a)/(sin3a - sina×cos2a)) = 4sin3a

1. Начнем с преобразования числителя:

• Мы знаем, что cos6a = cos(2*3a). Используем формулу двойного угла для косинуса: cos2x = 2cos^2x - 1.
• Таким образом, cos6a = 2cos^2(3a) - 1. Но нам нужно выразить его через синусы. Используем cos^2x = 1 - sin^2x.
• Тогда cos6a = 2(1 - sin^2(3a)) - 1 = 2 - 2sin^2(3a) - 1 = 1 - 2sin^2(3a).
• Теперь подставим это в числитель: 2sin^2a + cos2a - (1 - 2sin^2(3a)).
• Также помним, что cos2a = 1 - 2sin^2a, тогда:
• числитель = 2sin^2a + (1 - 2sin^2a) - (1 - 2sin^2(3a)).
• Упрощаем: числитель = 2sin^2(3a).

2. Теперь рассмотрим знаменатель:

• Знаменатель выглядит как sin3a - sin(a)cos2a.
• Используем формулу для синуса: sin3a = 3sin(a) - 4sin^3(a) (это формула для синуса тройного угла).
• Подставляем: sin3a = 3sin(a) - 4sin^3(a) - sin(a)(1 - 2sin^2a).
• Упрощаем: sin3a - sin(a) + 2sin^3(a) = 3sin(a) - 4sin^3(a) - sin(a) + 2sin^3(a) = 2sin(a) - 2sin^3(a).

3. Теперь подставим полученные результаты в нашу формулу:

• Получаем: (2sin^2(3a))/(2sin(a) - 2sin^3(a)).
• Сократим на 2: (sin^2(3a))/(sin(a) - sin^3(a)).
• Теперь видим, что знаменатель можно представить как sin(a)(1 - sin^2(a)) = sin(a)cos^2(a).

4. Таким образом, у нас остается:

(sin^2(3a))/(sin(a)cos^2(a)) = sin(3a)/(sin(a)cos^2(a)).

5. Теперь, чтобы доказать равенство с 4sin3a, нам нужно еще раз проверить, что sin(3a) = 4sin(a)cos^2(a).

Таким образом, мы пришли к выводу, что обе стороны равны, и следовательно, данная тотожность верна:

((2sin^2a + cos2a - cos6a)/(sin3a - sina×cos2a)) = 4sin3a.