Как можно доказать тождество: (1 - tg^2(45 - a)) / (1 + tg^2(45 - a)) = sin(2a)?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества доказать тождество алгебра 9 класс тригонометрические функции tg 45 - a sin 2a тождество в алгебре математические доказательства Новый

Чтобы доказать тождество (1 - tg^2(45 - a)) / (1 + tg^2(45 - a)) = sin(2a), начнем с левой части уравнения и преобразуем её.

1. Вспомним, что tg(45 - a) можно выразить через sin и cos:

• tg(45 - a) = sin(45 - a) / cos(45 - a)
• sin(45 - a) = sin(45)cos(a) - cos(45)sin(a) = (sqrt(2)/2)cos(a) - (sqrt(2)/2)sin(a) = (sqrt(2)/2)(cos(a) - sin(a))
• cos(45 - a) = cos(45)cos(a) + sin(45)sin(a) = (sqrt(2)/2)cos(a) + (sqrt(2)/2)sin(a) = (sqrt(2)/2)(cos(a) + sin(a))

2. Теперь можем выразить tg(45 - a):

• tg(45 - a) = (sqrt(2)/2)(cos(a) - sin(a)) / (sqrt(2)/2)(cos(a) + sin(a)) = (cos(a) - sin(a)) / (cos(a) + sin(a))

3. Теперь найдем tg^2(45 - a):

• tg^2(45 - a) = [(cos(a) - sin(a)) / (cos(a) + sin(a))]^2 = (cos(a) - sin(a))^2 / (cos(a) + sin(a))^2

4. Подставим это выражение в левую часть тождества:

• (1 - tg^2(45 - a)) = (1 - (cos(a) - sin(a))^2 / (cos(a) + sin(a))^2)
• (1 + tg^2(45 - a)) = (1 + (cos(a) - sin(a))^2 / (cos(a) + sin(a))^2)

5. Далее, упростим выражения:

• 1 - tg^2(45 - a) = (cos(a) + sin(a))^2 - (cos(a) - sin(a))^2) / (cos(a) + sin(a))^2
• 1 + tg^2(45 - a) = (cos(a) + sin(a))^2 + (cos(a) - sin(a))^2) / (cos(a) + sin(a))^2

6. Используем формулы разности и суммы квадратов:

• (cos(a) + sin(a))^2 - (cos(a) - sin(a))^2 = 4sin(a)cos(a)
• (cos(a) + sin(a))^2 + (cos(a) - sin(a))^2 = 2(cos^2(a) + sin^2(a)) = 2

7. Теперь подставим все обратно в выражение:

• (1 - tg^2(45 - a)) / (1 + tg^2(45 - a)) = (4sin(a)cos(a)) / 2 = 2sin(a)cos(a)

8. По формуле синуса двойного угла sin(2a) = 2sin(a)cos(a), мы можем заключить:

• (1 - tg^2(45 - a)) / (1 + tg^2(45 - a)) = sin(2a)

Таким образом, мы доказали тождество:

(1 - tg^2(45 - a)) / (1 + tg^2(45 - a)) = sin(2a)