Как можно доказать тождество: 1/tg^2y + 1 - 1/ctg^2y + 1?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества доказать тождество алгебра 9 класс тригонометрические функции tg и ctg математические тождества решение тождества Новый

Чтобы доказать тождество 1/tg^2y + 1 - 1/ctg^2y + 1, начнем с преобразования каждого из его членов.

1. Напомним, что тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус:

• tg(y) = sin(y) / cos(y)
• ctg(y) = cos(y) / sin(y)

2. Теперь выразим tg^2y и ctg^2y:

• tg^2y = (sin^2(y) / cos^2(y))
• ctg^2y = (cos^2(y) / sin^2(y))

3. Подставим эти выражения в наше тождество:

1/tg^2y = cos^2(y) / sin^2(y)

1/ctg^2y = sin^2(y) / cos^2(y)

4. Теперь подставим эти значения в тождество:

cos^2(y) / sin^2(y) + 1 - sin^2(y) / cos^2(y) + 1

5. Объединим все члены:

(cos^2(y) / sin^2(y) - sin^2(y) / cos^2(y)) + 2

6. Чтобы упростить выражение, найдем общий знаменатель для первых двух дробей:

• Общий знаменатель будет sin^2(y) * cos^2(y).

7. Перепишем дроби:

(cos^4(y) - sin^4(y)) / (sin^2(y) * cos^2(y)) + 2

8. Теперь используем формулу разности квадратов:

cos^4(y) - sin^4(y) = (cos^2(y) - sin^2(y))(cos^2(y) + sin^2(y)).

9. Поскольку cos^2(y) + sin^2(y) = 1, то:

(cos^2(y) - sin^2(y)) / (sin^2(y) * cos^2(y)) + 2.

10. Теперь мы можем выразить 2 так, чтобы привести к общему знаменателю:

2 = 2 * (sin^2(y) * cos^2(y)) / (sin^2(y) * cos^2(y)) = (2sin^2(y) * cos^2(y)) / (sin^2(y) * cos^2(y)).

11. Объединим все в одну дробь:

(cos^2(y) - sin^2(y) + 2sin^2(y) * cos^2(y)) / (sin^2(y) * cos^2(y)).

12. Упростим числитель. Если мы раскроем скобки, то получим:

cos^2(y) - sin^2(y) + 2sin^2(y)cos^2(y).

13. Таким образом, мы доказали тождество:

1/tg^2y + 1 - 1/ctg^2y + 1 = (cos^2(y) - sin^2(y) + 2sin^2(y)cos^2(y)) / (sin^2(y) * cos^2(y)).

Таким образом, тождество верно. Надеюсь, это объяснение было полезным!