Как можно доказать тождество (1 + tg²B)(1 - cos²B) = tg²B?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества доказать тождество алгебра 9 класс тождество тригонометрии tg2B cos²B алгебраические преобразования Новый

Чтобы доказать тождество (1 + tg²B)(1 - cos²B) = tg²B, давайте разберем каждую часть этого выражения и используем известные тригонометрические тождества.

1. Начнем с левой части тождества: (1 + tg²B)(1 - cos²B).

2. Заменим tg²B на его определение. Напомним, что tgB = sinB/cosB, следовательно:

• tg²B = sin²B/cos²B.

3. Теперь подставим tg²B в наше выражение:

• (1 + sin²B/cos²B)(1 - cos²B).

4. Обратите внимание, что 1 - cos²B можно заменить на sin²B, так как это следует из основного тригонометрического тождества:

• sin²B + cos²B = 1.
• Следовательно, 1 - cos²B = sin²B.

5. Теперь подставим это в выражение:

• (1 + sin²B/cos²B)(sin²B).

6. Раскроем скобки:

• sin²B + (sin²B * sin²B)/cos²B.

7. Это можно записать как:

• sin²B + sin⁴B/cos²B.

8. Теперь найдем общий знаменатель для двух частей:

• sin²B * cos²B/cos²B + sin⁴B/cos²B = (sin²B * cos²B + sin⁴B)/cos²B.

9. Вынесем sin²B за скобки:

• sin²B(cos²B + sin²B)/cos²B.

10. Заметим, что cos²B + sin²B = 1. Подставим это в наше выражение:

• sin²B(1)/cos²B = sin²B/cos²B.

11. А это, в свою очередь, и есть tg²B:

• tg²B = sin²B/cos²B.

Таким образом, мы пришли к правой части тождества:

• (1 + tg²B)(1 - cos²B) = tg²B.

Итак, мы доказали данное тождество.