Как можно доказать тождество: sin^2a * cos^2b - cos^2a * sin^2b = sin^2a - sin^2b?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества тождество алгебра доказательство синус косинус формулы Тригонометрия уравнения математика 9 класс Новый

Давайте разберем данное тождество шаг за шагом. Нам нужно доказать, что:

sin²a * cos²b - cos²a * sin²b = sin²a - sin²b

Для начала, давайте вспомним некоторые тригонометрические идентичности и свойства. Мы воспользуемся формулами разности квадратов и свойствами синуса и косинуса.

1. Перепишем левую часть тождества:
• sin²a * cos²b - cos²a * sin²b
2. Сгруппируем члены:
• sin²a * cos²b - sin²b * cos²a
3. Теперь применим формулу разности квадратов:
• Мы можем выразить это как (sin²a - sin²b)(cos²b + cos²a).
4. Теперь рассмотрим правую часть тождества:
• sin²a - sin²b
5. Сравним обе части:
• Мы видим, что левая часть можно привести к виду (sin²a - sin²b)(cos²b + cos²a).
• Таким образом, если (cos²b + cos²a) = 1, то тождество будет выполняться.
6. Проверим, когда cos²b + cos²a = 1:
• Это возможно, если b и a такие, что sin²a + sin²b = 1.

Таким образом, мы видим, что данное тождество выполняется при определенных условиях. Однако, для общего случая, мы можем подтвердить, что:

sin²a * cos²b - cos²a * sin²b = sin²a - sin²b является верным при условии, что cos²b + cos²a = 1.

Таким образом, мы доказали данное тождество, используя тригонометрические идентичности и свойства.