Как можно доказать тождество: sin(α+β) + sin(-a) cos(-β) = cos a sin β?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества доказать тождество алгебра 9 класс тригонометрические функции sin α + β cos -β sin -a математические доказательства Новый

Чтобы доказать тождество sin(α + β) + sin(-a) cos(-β) = cos a sin β, давайте разберем каждую часть этого выражения и используем тригонометрические идентичности.

1. Начнем с левой части тождества: sin(α + β).

По формуле суммы углов для синуса мы знаем, что:

• sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β).

Таким образом, мы можем записать:

• sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β).

2. Теперь рассмотрим второй член левой части: sin(-a) cos(-β).

Мы знаем, что:

• sin(-a) = -sin(a) (по свойству нечетности синуса),
• cos(-β) = cos(β) (по свойству четности косинуса).

Таким образом, мы можем заменить этот член:

• sin(-a) cos(-β) = -sin(a) cos(β).

3. Теперь объединим оба результата и получим:

• sin(α + β) + sin(-a) cos(-β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) - sin(a) cos(β).

4. Теперь у нас есть выражение:

• sin(α + β) + sin(-a) cos(-β) = (sin(α) - sin(a)) cos(β) + cos(α) sin(β).

5. Теперь давайте рассмотрим правую часть тождества: cos(a) sin(β). Мы можем оставить ее без изменений.

6. Теперь нам нужно установить равенство между левой и правой частями. Мы видим, что в левой части у нас есть cos(β) и sin(β), что может указывать на возможность применения формулы для произведения.

7. Если мы подставим α = a, то мы получим:

• sin(a + β) + sin(-a) cos(-β) = cos(a) sin(β).

8. Таким образом, мы можем утверждать, что тождество действительно верно, если α = a.

В итоге, мы доказали, что:

• sin(α + β) + sin(-a) cos(-β) = cos(a) sin(β).

Это завершает доказательство тождества. Если у вас остались вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь задавать!