Как можно обосновать тождество sin2a = 2tg a / (1 + tg^2a)?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества тождество sin2a обоснование тождества алгебра 9 класс тригонометрические функции tg a sin и tg алгебраические тождества Новый

Чтобы обосновать тождество sin2a = 2tg a / (1 + tg^2a), мы можем использовать основные тригонометрические тождества и определения. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Вспомним определения

• Синус двойного угла: sin2a = 2sin(a)cos(a).
• Тангенс угла a: tg a = sin(a) / cos(a).

Шаг 2: Подставим tg a в выражение

Из определения тангенса мы можем выразить sin(a) и cos(a) через tg a:

• sin(a) = tg(a) * cos(a).

Шаг 3: Подставим sin(a) в формулу для sin2a

Теперь подставим это выражение в формулу для sin2a:

1. sin2a = 2sin(a)cos(a) = 2(tg(a) * cos(a)) * cos(a).
2. Это упрощается до: sin2a = 2tg(a) * cos^2(a).

Шаг 4: Выразим cos^2(a) через tg^2(a)

Мы знаем, что:

• cos^2(a) = 1 / (1 + tg^2(a)).

Это следует из основной тригонометрической тождества sin^2(a) + cos^2(a) = 1.

Шаг 5: Подставим cos^2(a) в выражение для sin2a

1. Теперь подставим cos^2(a) в выражение: sin2a = 2tg(a) * (1 / (1 + tg^2(a))).
2. Это упрощается до: sin2a = 2tg(a) / (1 + tg^2(a)).

Заключение

Таким образом, мы обоснованно пришли к тождеству: sin2a = 2tg a / (1 + tg^2a). Мы использовали основные тригонометрические тождества и определения, чтобы вывести это равенство.