Как можно построить график функции y=(x^4-13x^2+36)/(x^2-4)?

Алгебра 9 класс Построение графиков функций построить график функции график y=(x^4-13x^2+36)/(x^2-4) алгебра 9 класс функции и графики математический анализ функций Новый

Для построения графика функции y = (x^4 - 13x^2 + 36) / (x^2 - 4) необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определение области определения функции

Сначала найдём, при каких значениях x функция не определена. Это происходит, когда знаменатель равен нулю:

• x^2 - 4 = 0
• x^2 = 4
• x = ±2

Таким образом, функция не определена в точках x = 2 и x = -2. Область определения функции: x ∈ R, x ≠ 2, x ≠ -2.

2. Упрощение функции

Попробуем упростить числитель:

• Числитель: x^4 - 13x^2 + 36
• Это можно представить как (x^2)^2 - 13(x^2) + 36, что является квадратным уравнением относительно x^2.

Решим это уравнение:

• Для нахождения корней используем дискриминант: D = (-13)^2 - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25.
• Корни: x^2 = (13 ± √25) / 2 = (13 ± 5) / 2.
• Получаем: x^2 = 9 (x = ±3) и x^2 = 4 (x = ±2, но эти корни нас не интересуют, так как они исключены из области определения).

Таким образом, числитель можно разложить как:

• (x^2 - 9)(x^2 - 4) = (x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2).

Теперь мы можем упростить функцию:

y = [(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)] / (x^2 - 4) = (x - 3)(x + 3) при x ≠ 2 и x ≠ -2.

3. Нахождение нулей функции

Нули функции находятся, когда числитель равен нулю:

• (x - 3)(x + 3) = 0
• x = 3 и x = -3.

4. Построение асимптот

Теперь мы определим вертикальные и горизонтальные асимптоты:

• Вертикальные асимптоты находятся в точках, где функция не определена: x = 2 и x = -2.
• Горизонтальная асимптота: при больших значениях x, y стремится к x^2 (так как степень числителя больше степени знаменателя). Это значит, что y стремится к бесконечности или -бесконечности.

5. Построение графика

Теперь, когда мы собрали всю необходимую информацию, можно построить график:

• Отметьте точки пересечения с осью x (x = 3 и x = -3).
• Нанесите вертикальные асимптоты в точках x = 2 и x = -2.
• Определите поведение функции в интервалах между асимптотами и нулями.

Таким образом, вы получите полный график функции. Не забудьте проверить, как функция ведет себя вблизи асимптот, чтобы правильно отобразить её поведение.