Привет! Давай разберемся, как построить график функции у = 2x² - 4x и узнать все нужные характеристики.

1. Промежутки возрастания и убывания:

Сначала найдем производную функции, чтобы определить, где она возрастает, а где убывает. Производная у = 2x² - 4x будет:

у' = 4x - 4.

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

• 4x - 4 = 0
• 4x = 4
• x = 1.

Теперь мы знаем, что x = 1 — это критическая точка. Проверим, что происходит по обе стороны от этой точки:

• Для x < 1 (например, x = 0): 4(0) - 4 = -4 (отрицательно, значит, функция убывает).
• Для x > 1 (например, x = 2): 4(2) - 4 = 4 (положительно, значит, функция возрастает).

Итак, функция убывает на промежутке (-∞, 1) и возрастает на промежутке (1, +∞).

2. Промежутки, при которых у ≥ 0 и у < 0:

Теперь найдем, когда у = 0. Для этого решим у = 2x² - 4x = 0:

• 2x(x - 2) = 0
• Получаем x = 0 и x = 2.

Теперь определим промежутки:

• Когда x < 0, подставляем в у: у = 2(-1)² - 4(-1) = 6 (у > 0).
• Когда 0 < x < 2, подставляем x = 1: у = 2(1)² - 4(1) = -2 (у < 0).
• Когда x > 2, подставляем x = 3: у = 2(3)² - 4(3) = 6 (у > 0).

Итак, у ≥ 0 на промежутках (-∞, 0) и (2, +∞),а у < 0 на промежутке (0, 2).

3. Точки пересечения параболы с осью абсцисс:

Мы уже нашли эти точки, когда решали у = 0. Это:

• x = 0
• x = 2.

Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в точках (0, 0) и (2, 0).

Вот так, в общем, мы разобрались с графиком этой функции! Если есть еще вопросы, пиши!