Как можно решить два неравенства:

1. (16-x^2)(x^2+4)(x^2+x+1)(x^2-x-12) ≤ 0
2. 2/x-1 - 1/x+1 > -3

Пожалуйста, решите их вместе с графиками и подробно объясните, что к чему принадлежит.

Алгебра 9 класс Неравенства и их решения решение неравенств алгебра 9 класс графики неравенств подробное объяснение математические методы Новый

Решим оба неравенства по очереди, начиная с первого.

1. Решение неравенства: (16 - x^2)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)(x^2 - x - 12) ≤ 0

Сначала найдем нули каждого множителя, так как они помогут нам определить знаки произведения на интервалах.

• (16 - x^2) = 0 ⇒ x^2 = 16 ⇒ x = ±4
• (x^2 + 4) = 0 ⇒ нет действительных корней (поскольку x^2 + 4 всегда положительно для любых x)
• (x^2 + x + 1) = 0 ⇒ нет действительных корней (дискриминант D = 1^2 - 4*1*1 = -3, отрицательный)
• (x^2 - x - 12) = 0 ⇒ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) = 0 ⇒ x = 4, x = -3

Теперь у нас есть нули: x = -4, x = -3, x = 4. Эти точки разбивают числовую прямую на 4 интервала:

• (-∞, -4)
• (-4, -3)
• (-3, 4)
• (4, +∞)

Теперь определим знак произведения на каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, -4):
   • Выберем x = -5: (16 - (-5)^2)(-5^2 + 4)(-5^2 + (-5) + 1)(-5^2 - (-5) - 12) = (16 - 25)(25 + 4)(25 - 5 + 1)(25 + 5 - 12) = (-9)(29)(21)(18) < 0
2. Для интервала (-4, -3):
   • Выберем x = -3.5: (16 - (-3.5)^2)(-3.5^2 + 4)(-3.5^2 + (-3.5) + 1)(-3.5^2 - (-3.5) - 12) = (16 - 12.25)(12.25 + 4)(12.25 - 3.5 + 1)(12.25 + 3.5 - 12) = (3.75)(16.25)(9.75)(3.75) > 0
3. Для интервала (-3, 4):
   • Выберем x = 0: (16 - 0^2)(0^2 + 4)(0^2 + 0 + 1)(0^2 - 0 - 12) = (16)(4)(1)(-12) < 0
4. Для интервала (4, +∞):
   • Выберем x = 5: (16 - 5^2)(5^2 + 4)(5^2 + 5 + 1)(5^2 - 5 - 12) = (16 - 25)(25 + 4)(25 + 5 + 1)(25 - 5 - 12) = (-9)(29)(31)(8) < 0

Теперь мы можем собрать результаты:

Знак произведения:

• (-∞, -4): −
• (-4, -3): +
• (-3, 4): −
• (4, +∞): −

Итак, неравенство (16 - x^2)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)(x^2 - x - 12) ≤ 0 выполняется на интервалах: (-∞, -4] и [-3, 4].

2. Решение неравенства: 2/x - 1 - 1/x + 1 > -3

Сначала упростим неравенство:

2/x - 1 - 1/x + 1 > -3

Сложим подобные: (2/x - 1/x) + (1 - 1) > -3

Это упростится до: 1/x > -3

Теперь найдем, когда 1/x > -3:

Перепишем неравенство: 1/x + 3 > 0, что эквивалентно 1/x > -3.

Умножим обе стороны на x (учтем, что при x < 0 знак неравенства поменяется):

• Для x > 0: 1 > -3x ⇒ x > -1/3
• Для x < 0: 1 < -3x ⇒ x < -1/3

Таким образом, решением неравенства будет: x < -1/3 или x > 0.

Итак, окончательные решения:

• Первое неравенство: x ∈ (-∞, -4] ∪ [-3, 4]
• Второе неравенство: x < -1/3 ∪ x > 0

Графически это можно представить следующим образом:

На первой числовой прямой отмечаем интервалы для первого неравенства и закрашиваем их. На второй прямой отмечаем решения второго неравенства, также закрашивая соответствующие участки.