Каковы все значения a, при которых неравенство x^2 - 2ax + 2 - a <= 0 не имеет решений?

Алгебра 9 класс Неравенства и их решения неравенство алгебра решения значения a x^2 - 2ax + 2 - a Новый

Для решения неравенства x^2 - 2ax + 2 - a > 0, начнем с того, что это квадратное неравенство. Чтобы понять, при каких значениях a это неравенство выполняется, нам нужно рассмотреть его как функцию от x.

Сначала запишем неравенство в стандартной форме:

x^2 - 2ax + (2 - a) > 0.

Теперь мы видим, что это квадратное уравнение имеет вид:

f(x) = x^2 - 2ax + (2 - a).

Для того чтобы неравенство f(x) > 0 выполнялось для всех x, необходимо, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения был меньше нуля. Дискриминант D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c равен D = b^2 - 4ac.

• В нашем случае:
• a = 1, b = -2a, c = 2 - a.

Теперь найдем дискриминант:

• D = (-2a)^2 - 4 * 1 * (2 - a) = 4a^2 - 4(2 - a).
• Упрощаем: D = 4a^2 - 8 + 4a = 4a^2 + 4a - 8.

Теперь установим условие для дискриминанта:

4a^2 + 4a - 8 < 0.

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни квадратного уравнения 4a^2 + 4a - 8 = 0 с помощью формулы корней:

• Корни находятся по формуле: a = (-b ± √(D)) / (2a).
• Здесь b = 4, D = 4^2 - 4 * 4 * (-8) = 16 + 128 = 144.
• Корни: a = (-4 ± √144) / 8 = (-4 ± 12) / 8.

Теперь найдем два корня:

• a1 = (8) / 8 = 1,
• a2 = (-16) / 8 = -2.

Теперь мы знаем, что неравенство 4a^2 + 4a - 8 < 0 выполняется между корнями -2 и 1. Это означает, что:

-2 < a < 1.

Таким образом, все значения a, при которых неравенство x^2 - 2ax + 2 - a > 0 выполняется для всех x, находятся в интервале:

a ∈ (-2, 1).