Как можно решить неравенства: 1) (x-1)(x-4) > 0 и 2) x(x-5)/(x-3) <= 0?

Алгебра 9 класс Неравенства решение неравенств алгебра 9 класс неравенства с умножением неравенства с делением графики неравенств анализ знаков метод интервалов математические неравенства Новый

Для решения неравенств, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.

1) Неравенство (x-1)(x-4) > 0

Шаг 1: Найдем нули функции. Для этого приравняем каждое из множителей к нулю:

• x - 1 = 0 → x = 1
• x - 4 = 0 → x = 4

Шаг 2: Построим числовую прямую и отметим найденные нули:

• 1
• 4

Шаг 3: Определим знаки произведения (x-1)(x-4) на интервалах, которые получаются между нулями:

• Интервал (-∞, 1): выберем, например, x = 0. (0-1)(0-4) = (−)(−) > 0
• Интервал (1, 4): выберем, например, x = 2. (2-1)(2-4) = (+)(−) < 0
• Интервал (4, +∞): выберем, например, x = 5. (5-1)(5-4) = (+)(+) > 0

Шаг 4: Запишем решение. Неравенство (x-1)(x-4) > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, 1)
• (4, +∞)

Таким образом, ответ: x ∈ (-∞, 1) ∪ (4, +∞).

2) Неравенство x(x-5)/(x-3) > 0

Шаг 1: Найдем нули числителя и точки, где дробь не определена. Числитель равен нулю, когда:

• x = 0
• x - 5 = 0 → x = 5

Дробь не определена, когда знаменатель равен нулю:

• x - 3 = 0 → x = 3

Шаг 2: Отметим найденные точки на числовой прямой:

• 0
• 3
• 5

Шаг 3: Определим знаки дроби на интервалах:

• Интервал (-∞, 0): выберем x = -1. (-1)(-6)/(-4) = (+)/(−) < 0
• Интервал (0, 3): выберем x = 1. (1)(-4)/(−2) = (+)(−)/(−) > 0
• Интервал (3, 5): выберем x = 4. (4)(-1)/(1) = (+)(−)/(+) < 0
• Интервал (5, +∞): выберем x = 6. (6)(1)/(3) = (+)/(+) > 0

Шаг 4: Запишем решение. Неравенство x(x-5)/(x-3) > 0 выполняется на интервалах:

• (0, 3)
• (5, +∞)

Таким образом, ответ: x ∈ (0, 3) ∪ (5, +∞).