Как можно решить неравенства, применяя метод интервалов?

1. X(X-2)(X+3) > 0

Также найдите решения следующих неравенств:

1. 2x^2 > 3x
2. x^2 + 4x + 14 > 0

Решите систему неравенств:

1. x^2 - 3x - 4 < 0 при x > 0
2. x^2 - 3x - 4 < 0 при x >= 5

Алгебра 9 класс Неравенства и их решения неравенства метод интервалов решение неравенств алгебра 9 класс системы неравенств неравенства с квадратами неравенства с переменной x Новый

Решение неравенств с помощью метода интервалов включает несколько шагов. Давайте разберем каждый из ваших примеров по порядку.

1. Решение неравенства X(X-2)(X+3) > 0

Первый шаг — найти корни неравенства. Для этого приравняем его к нулю:

• X(X-2)(X+3) = 0

Корни: X = 0, X = 2, X = -3. Теперь у нас есть три корня, которые разделят числовую ось на интервалы:

• (-∞, -3)
• (-3, 0)
• (0, 2)
• (2, +∞)

Теперь мы проверим знак неравенства в каждом интервале, подставляя тестовые значения:

• Для интервала (-∞, -3), например, X = -4:
  • -4(-4-2)(-4+3) = -4*(-6)*(-1) > 0 (положительное)
• Для интервала (-3, 0), например, X = -1:
  • -1(-1-2)(-1+3) = -1*(-3)*(2) < 0 (отрицательное)
• Для интервала (0, 2), например, X = 1:
  • 1(1-2)(1+3) = 1*(-1)*(4) < 0 (отрицательное)
• Для интервала (2, +∞), например, X = 3:
  • 3(3-2)(3+3) = 3*(1)*(6) > 0 (положительное)

Теперь мы можем записать решение: неравенство выполняется на интервалах (-∞, -3) и (2, +∞).

2. Решение неравенства 2x^2 > 3x

Сначала перенесем все в одну сторону:

• 2x^2 - 3x > 0

Теперь найдем корни уравнения 2x^2 - 3x = 0:

• x(2x - 3) = 0

Корни: x = 0 и x = 3/2. Теперь мы имеем интервалы:

• (-∞, 0)
• (0, 3/2)
• (3/2, +∞)

Проверим знаки:

• Для интервала (-∞, 0), например, X = -1:
  • 2(-1)^2 - 3(-1) = 2 + 3 > 0 (положительное)
• Для интервала (0, 3/2), например, X = 1:
  • 2(1)^2 - 3(1) = 2 - 3 < 0 (отрицательное)
• Для интервала (3/2, +∞), например, X = 2:
  • 2(2)^2 - 3(2) = 8 - 6 > 0 (положительное)

Таким образом, решение неравенства: (-∞, 0) ∪ (3/2, +∞).

3. Решение неравенства x^2 + 4x + 14 > 0

Это квадратное выражение всегда больше нуля, потому что его дискриминант D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4*1*14 = 16 - 56 = -40 меньше нуля. Следовательно, у него нет действительных корней, и график параболы открывается вверх. Таким образом, решение: R (все действительные числа).

4. Решение системы неравенств:

a. x^2 - 3x - 4 < 0 при x > 0

Сначала найдем корни уравнения x^2 - 3x - 4 = 0:

• (x - 4)(x + 1) = 0

Корни: x = 4, x = -1. Интервалы: (-∞, -1), (-1, 4), (4, +∞). Проверим знаки:

• Для интервала (-∞, -1), например, X = -2:
  • (-2)^2 - 3(-2) - 4 > 0
• Для интервала (-1, 4), например, X = 0:
  • 0^2 - 3*0 - 4 < 0
• Для интервала (4, +∞), например, X = 5:
  • 5^2 - 3*5 - 4 > 0

Таким образом, при x > 0, решение: (0, 4).

b. x^2 - 3x - 4 < 0 при x >= 5

Мы уже нашли, что неравенство x^2 - 3x - 4 < 0 выполняется на интервале (-1, 4). Однако, для x >= 5, мы видим, что 5 > 4, и здесь неравенство не выполняется. Таким образом, решение: пустое множество.

Итак, мы рассмотрели все ваши примеры и нашли решения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!