Решение неравенств второй степени включает несколько шагов. Давайте рассмотрим общий подход к решению, а затем применим его к каждому из примеров.

Шаги решения неравенств второй степени:

1. Привести неравенство к стандартному виду, если это необходимо.
2. Найти корни соответствующего уравнения (приравняв неравенство к нулю).
3. Определить знаки выражения на интервалах, образованных корнями.
4. Сделать вывод о решении неравенства, учитывая знак неравенства.

Теперь давайте рассмотрим конкретные примеры:

1. x² + 5x + 4 < 0
   • Корни: x² + 5x + 4 = 0, (x + 1)(x + 4) = 0, корни x = -1 и x = -4.
   • Интервалы: (-∞, -4),(-4, -1),(-1, +∞).
   • Знаки: (-∞, -4) - положительный, (-4, -1) - отрицательный, (-1, +∞) - положительный.
   • Решение: (-4, -1).
2. -x² + 5x - 4 < 0
   • Корни: x² - 5x + 4 = 0, (x - 4)(x - 1) = 0, корни x = 1 и x = 4.
   • Интервалы: (-∞, 1),(1, 4),(4, +∞).
   • Знаки: (-∞, 1) - отрицательный, (1, 4) - положительный, (4, +∞) - отрицательный.
   • Решение: (1, 4).
3. x(4x - 5) ≥ 0
   • Корни: x = 0 и 4x - 5 = 0, x = 5/4.
   • Интервалы: (-∞, 0),(0, 5/4),(5/4, +∞).
   • Знаки: (-∞, 0) - отрицательный, (0, 5/4) - положительный, (5/4, +∞) - положительный.
   • Решение: [0, 5/4].
4. x + 4x + 5 > 0
   • Приводим к стандартному виду: 5x + 5 > 0, x + 1 > 0.
   • Корень: x = -1.
   • Интервалы: (-∞, -1),(-1, +∞).
   • Знаки: (-∞, -1) - отрицательный, (-1, +∞) - положительный.
   • Решение: (-1, +∞).
5. 2x² + 5x + 3 < 0
   • Корни: 2x² + 5x + 3 = 0, (2x + 3)(x + 1) = 0, корни x = -3/2 и x = -1.
   • Интервалы: (-∞, -3/2),(-3/2, -1),(-1, +∞).
   • Знаки: (-∞, -3/2) - положительный, (-3/2, -1) - отрицательный, (-1, +∞) - положительный.
   • Решение: (-3/2, -1).
6. 3x² - 5x + 2 > 0
   • Корни: 3x² - 5x + 2 = 0, (3x - 2)(x - 1) = 0, корни x = 2/3 и x = 1.
   • Интервалы: (-∞, 2/3),(2/3, 1),(1, +∞).
   • Знаки: (-∞, 2/3) - положительный, (2/3, 1) - отрицательный, (1, +∞) - положительный.
   • Решение: (-∞, 2/3) ∪ (1, +∞).
7. 2x² - x - 1 > 0
   • Корни: 2x² - x - 1 = 0, (2x + 1)(x - 1) = 0, корни x = -1/2 и x = 1.
   • Интервалы: (-∞, -1/2),(-1/2, 1),(1, +∞).
   • Знаки: (-∞, -1/2) - положительный, (-1/2, 1) - отрицательный, (1, +∞) - положительный.
   • Решение: (-∞, -1/2) ∪ (1, +∞).
8. -4x² + 3x + 1 ≤ 0
   • Корни: -4x² + 3x + 1 = 0, (-4x - 1)(x - 1) = 0, корни x = -1/4 и x = 1.
   • Интервалы: (-∞, -1/4),(-1/4, 1),(1, +∞).
   • Знаки: (-∞, -1/4) - положительный, (-1/4, 1) - отрицательный, (1, +∞) - положительный.
   • Решение: [-1/4, 1].
9. x² - 6x + 9 > 0
   • Корни: x² - 6x + 9 = 0, (x - 3)² = 0, корень x = 3.
   • Интервалы: (-∞, 3),(3, +∞).
   • Знаки: (-∞, 3) - положительный, (3, +∞) - положительный.
   • Решение: (-∞, 3) ∪ (3, +∞).
10. 4x² - 4x + 1 ≥ 0
    • Корни: 4x² - 4x + 1 = 0, (2x - 1)² = 0, корень x = 1/2.
    • Интервалы: (-∞, 1/2),(1/2, +∞).
    • Знаки: (-∞, 1/2) - положительный, (1/2, +∞) - положительный.
    • Решение: (-∞, 1/2] ∪ [1/2, +∞).
11. -9x² - 6x - 1 < 0
    • Корни: -9x² - 6x - 1 = 0, (-9x - 1)(x + 1/9) = 0, корни x = -1/9 и x = 1/9.
    • Интервалы: (-∞, -1/9),(-1/9, 1/9),(1/9, +∞).
    • Знаки: (-∞, -1/9) - положительный, (-1/9, 1/9) - отрицательный, (1/9, +∞) - положительный.
    • Решение: (-1/9, 1/9).
12. 4x² - 20x + 25 < 0
    • Корни: 4x² - 20x + 25 = 0, (2x - 5)² = 0, корень x = 5/2.
    • Интервалы: (-∞, 5/2),(5/2, +∞).
    • Знаки: (-∞, 5/2) - положительный, (5/2, +∞) - положительный.
    • Решение: нет решений.
13. -2x² + 6x - 4.5 ≤ 0
    • Корни: -2x² + 6x - 4.5 = 0, (-2x + 3)(x - 1.5) = 0, корни x = 3/2 и x = 1.5.
    • Интервалы: (-∞, 3/2),(3/2, +∞).
    • Знаки: (-∞, 3/2) - положительный, (3/2, +∞) - отрицательный.
    • Решение: [1.5, 3/2].
14. x(24x + 6) > 0
    • Корни: x = 0 и 24x + 6 = 0, x = -1/4.
    • Интервалы: (-∞, -1/4),(-1/4, 0),(0, +∞).
    • Знаки: (-∞, -1/4) - отрицательный, (-1/4, 0) - положительный, (0, +∞) - положительный.
    • Решение: (-1/4, 0) ∪ (0, +∞).
15. x² + 6x + 10 < 0
    • Корни: x² + 6x + 10 = 0, D = 6² - 4*1*10 = -4, нет действительных корней.
    • Знаки: всегда положительно.
    • Решение: нет решений.
16. 2x² + 3x + 7 < 0
    • Корни: D = 3² - 4*2*7 = -43, нет действительных корней.
    • Знаки: всегда положительно.
    • Решение: нет решений.
17. 4x² - 8x + 9 > 0
    • Корни: D = (-8)² - 4*4*9 = -8, нет действительных корней.
    • Знаки: всегда положительно.
    • Решение: (-∞, +∞).
18. 6 - x² ≥ 0
    • Корни: x² - 6 = 0, x = ±√6.
    • Интервалы: (-√6, √6).
    • Знаки: (-√6, √6) - положительный.
    • Решение: [-√6, √6].
19. -x² + 5 < 0
    • Корни: x² - 5 = 0, x = ±√5.
    • Интервалы: (-√5, √5).
    • Знаки: (-√5, √5) - отрицательный.
    • Решение: (-∞, -√5) ∪ (√5, +∞).
20. 3.6x² + 7.2x > 0
    • Корни: 3.6x(x + 2) = 0, корни x = 0 и x = -2.
    • Интервалы: (-∞, -2),(-2, 0),(0, +∞).
    • Знаки: (-∞, -2) - положительный, (-2, 0) - отрицательный, (0, +∞) - положительный.
    • Решение: (-∞, -2) ∪ (0, +∞).
21. -6x² - x + 12 > 0
    • Корни: -6x² - x + 12 = 0, D = (-1)² - 4*(-6)*12 = 289, корни x = 2 и x = -1/6.
    • Интервалы: (-∞, -1/6),(-1/6, 2),(2, +∞).
    • Знаки: (-∞, -1/6) - положительный, (-1/6, 2) - отрицательный, (2, +∞) - положительный.
    • Решение: (-∞, -1/6) ∪ (2, +∞).

Таким образом, мы рассмотрели все примеры и нашли решения для каждого из них, следуя указанным шагам. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то более подробно, не стесняйтесь спрашивать!