Чтобы решить неравенство X в квадрате + 6X - 7 < 0, следуем следующим шагам:

1. Найдем корни соответствующего уравнения: Для этого решим уравнение X в квадрате + 6X - 7 = 0. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: X = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 6, c = -7.
2. Вычислим дискриминант:
   • Дискриминант D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64.
3. Найдем корни:
   • X1 = (-6 + √64) / 2 = (-6 + 8) / 2 = 2 / 2 = 1.
   • X2 = (-6 - √64) / 2 = (-6 - 8) / 2 = -14 / 2 = -7.
4. Запишем корни: Мы получили два корня: X1 = 1 и X2 = -7.
5. Определим промежутки: Теперь мы можем разбить числовую ось на три промежутка, используя найденные корни:
   • (-∞, -7)
   • (-7, 1)
   • (1, +∞)
6. Проверим знаки в каждом промежутке:
   • Для промежутка (-∞, -7) возьмем, например, X = -8: (-8)² + 6*(-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 (положительно).
   • Для промежутка (-7, 1) возьмем X = 0: 0² + 6*0 - 7 = -7 (отрицательно).
   • Для промежутка (1, +∞) возьмем X = 2: 2² + 6*2 - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 (положительно).
7. Сделаем вывод: Неравенство X в квадрате + 6X - 7 < 0 выполняется в промежутке (-7, 1).

Таким образом, ответ будет: X ∈ (-7, 1).