Как можно решить неравенство (1-x)(3+x)^2/x^2-2x <= 0 с помощью метода интервалов?

Алгебра 9 класс Неравенства решение неравенства метод интервалов алгебра 9 класс неравенства с дробями решение неравенств алгебраические методы неравенство (1-x)(3+x)^2/x^2-2x <= 0 Новый

Для решения неравенства (1-x)(3+x)^2/x^2 - 2x > 0, давайте шаг за шагом разберем его.

Шаг 1: Приведение к общему виду

Сначала упростим неравенство. Мы можем записать его в виде:

(1-x)(3+x)^2 > 2x * x^2

или:

(1-x)(3+x)^2 > 2x^3

Шаг 2: Найдем нули и знаки

Теперь найдем нули левой части неравенства. Для этого нам нужно решить уравнение:

• (1-x)(3+x)^2 = 0

Это уравнение равно нулю, когда:

• 1-x = 0, что дает x = 1;
• (3+x)^2 = 0, что дает x = -3.

Также не забудем про нули правой части:

• 2x^3 = 0, что дает x = 0.

Шаг 3: Определение интервалов

Теперь у нас есть три ключевых значения: x = -3, x = 0 и x = 1. Эти значения разбивают числовую ось на четыре интервала:

• (-∞, -3)
• (-3, 0)
• (0, 1)
• (1, +∞)

Шаг 4: Проверка знаков на интервалах

Теперь мы проверим знак выражения на каждом из интервалов. Для этого подберем тестовые значения:

• Для интервала (-∞, -3) возьмем x = -4:
• (1 - (-4))(3 + (-4))^2 = (5)(-1)^2 = 5 > 0.
• Для интервала (-3, 0) возьмем x = -1:
• (1 - (-1))(3 + (-1))^2 = (2)(2)^2 = 8 > 0.
• Для интервала (0, 1) возьмем x = 0.5:
• (1 - 0.5)(3 + 0.5)^2 = (0.5)(3.5)^2 = 0.5 * 12.25 = 6.125 > 0.
• Для интервала (1, +∞) возьмем x = 2:
• (1 - 2)(3 + 2)^2 = (-1)(5)^2 = -25 < 0.

Шаг 5: Запись решения

Теперь мы можем записать, где неравенство выполняется:

Неравенство (1-x)(3+x)^2/x^2 - 2x > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -3)
• (-3, 0)
• (0, 1)

Таким образом, решение неравенства:

x ∈ (-∞, -3) ∪ (-3, 0) ∪ (0, 1).

Не забывайте, что на границах -3, 0 и 1 выражение не принимает значение 0, поэтому эти точки не включаются в решение.