Для решения неравенства 2x^2 + x - 1 < 0, следуем следующим шагам:

Сначала преобразуем неравенство в уравнение:

2x^2 + x - 1 = 0

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = 1, c = -1.

Вычисляем дискриминант:

• D = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня.

Используем формулу корней:

• x1 = (-b + √D) / (2a)
• x2 = (-b - √D) / (2a)

Теперь подставим значения:

• x1 = (-1 + √9) / (2 * 2) = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 0.5
• x2 = (-1 - √9) / (2 * 2) = (-1 - 3) / 4 = -4 / 4 = -1

Итак, корни уравнения: x1 = 0.5 и x2 = -1.

Теперь мы знаем, что квадратное уравнение меняет знак в точках корней. Разобьем числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -1)
• (-1, 0.5)
• (0.5, +∞)

Выберем тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -1): возьмем x = -2.
• 2(-2)^2 + (-2) - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 (положительное).
• Для интервала (-1, 0.5): возьмем x = 0.
• 2(0)^2 + (0) - 1 = -1 (отрицательное).
• Для интервала (0.5, +∞): возьмем x = 1.
• 2(1)^2 + (1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 (положительное).

Мы выяснили, что:

• На интервале (-∞, -1) значение выражения положительное.
• На интервале (-1, 0.5) значение выражения отрицательное.
• На интервале (0.5, +∞) значение выражения положительное.

Таким образом, неравенство 2x^2 + x - 1 < 0 выполняется на интервале (-1, 0.5).

Решение неравенства: x ∈ (-1, 0.5).