Чтобы решить неравенство x^2 - 5x - 50 < 0, следуем следующему алгоритму:

1. Найдем корни соответствующего уравнения: Для этого решим уравнение x^2 - 5x - 50 = 0.
2. Используем дискриминант: Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -5, c = -50.
3. Подставляем значения:
• D = (-5)^2 - 4 * 1 * (-50) = 25 + 200 = 225.
4. Находим корни: Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D) / (2a).
5. Подставляем значения:
• x1 = (5 + √225) / 2 = (5 + 15) / 2 = 20 / 2 = 10;
• x2 = (5 - √225) / 2 = (5 - 15) / 2 = -10 / 2 = -5.
6. Записываем корни: Корни уравнения x1 = 10 и x2 = -5.
7. Определяем интервалы: Теперь определим интервалы, на которых нужно проверить знак выражения x^2 - 5x - 50. У нас есть три интервала:
• (-∞, -5)
• (-5, 10)
• (10, +∞)
8. Проверяем знак в каждом интервале:
• Для интервала (-∞, -5): возьмем, например, x = -6. Подставляем: (-6)^2 - 5*(-6) - 50 = 36 + 30 - 50 = 16 (положительное).
• Для интервала (-5, 10): возьмем, например, x = 0. Подставляем: 0^2 - 5*0 - 50 = -50 (отрицательное).
• Для интервала (10, +∞): возьмем, например, x = 11. Подставляем: 11^2 - 5*11 - 50 = 121 - 55 - 50 = 16 (положительное).
9. Собираем результаты: Мы видим, что выражение отрицательно только на интервале (-5, 10).
10. Записываем ответ: Таким образом, решением неравенства x^2 - 5x - 50 < 0 является интервал:
• x ∈ (-5, 10).

Итак, ответ: x ∈ (-5, 10).