Как можно решить следующие тригонометрические уравнения?

1. 6 cos^2 + 7 sin x - 8 = 0
2. 2 sin^2 + sin x * cos x - cos^2 = 0

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения тригонометрические уравнения решение уравнений алгебра 9 класс cos и sin методы решения математические уравнения Тригонометрия алгебраические задачи Новый

Давайте разберем оба тригонометрических уравнения по очереди.

1. Уравнение: 6 cos^2 x + 7 sin x - 8 = 0

Первым шагом мы можем выразить cos^2 x через sin x, используя основное тригонометрическое тождество:

• cos^2 x = 1 - sin^2 x

Подставим это в уравнение:

• 6(1 - sin^2 x) + 7 sin x - 8 = 0

Раскроем скобки:

• 6 - 6 sin^2 x + 7 sin x - 8 = 0

Соберем все члены в одном уравнении:

• -6 sin^2 x + 7 sin x - 2 = 0

Умножим уравнение на -1 для удобства:

• 6 sin^2 x - 7 sin x + 2 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно sin x, используя формулу корней:

• sin x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Здесь a = 6, b = -7, c = 2. Подставим значения:

• Дискриминант D = (-7)^2 - 4 * 6 * 2 = 49 - 48 = 1
• sin x = (7 ± √1) / (2 * 6)

Теперь найдем два значения для sin x:

• sin x1 = (7 + 1) / 12 = 8 / 12 = 2/3
• sin x2 = (7 - 1) / 12 = 6 / 12 = 1/2

Теперь мы можем найти значения x для sin x = 2/3 и sin x = 1/2:

• Для sin x = 1/2: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ (где k - целое число).
• Для sin x = 2/3: x = arcsin(2/3) + 2kπ и x = π - arcsin(2/3) + 2kπ.

2. Уравнение: 2 sin^2 x + sin x * cos x - cos^2 x = 0

Для решения этого уравнения также можем воспользоваться основными тригонометрическими тождествами. Начнем с того, что выразим cos^2 x через sin^2 x:

• cos^2 x = 1 - sin^2 x

Подставим это в уравнение:

• 2 sin^2 x + sin x * cos x - (1 - sin^2 x) = 0

Раскроем скобки:

• 2 sin^2 x + sin x * cos x - 1 + sin^2 x = 0

Соберем подобные члены:

• 3 sin^2 x + sin x * cos x - 1 = 0

Теперь можно выразить cos x через sin x:

• cos x = √(1 - sin^2 x)

Подставим это значение в уравнение:

• 3 sin^2 x + sin x * √(1 - sin^2 x) - 1 = 0

Это уравнение можно решить численно или графически, так как оно не имеет простых аналитических решений. Также можно использовать метод подстановки, чтобы найти корни.

Таким образом, мы разобрали оба уравнения и нашли пути их решения. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!