Решите уравнение: 2cos(2x) + 4cos(3п/2 - x) + 1 = 0

Укажите корни этого уравнения, которые принадлежат отрезку [3п/2; 3п]

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения алгебра 9 класс уравнение решение уравнения тригонометрические функции косинус корни уравнения отрезок математика школьная программа Новый

Для решения уравнения 2cos(2x) + 4cos(3π/2 - x) + 1 = 0 начнем с преобразования тригонометрических функций.

Шаг 1: Преобразование косинуса.

Используем формулу косинуса для углов, чтобы упростить вторую часть уравнения:

• cos(3π/2 - x) = sin(x), так как cos(3π/2) = 0 и sin(3π/2) = -1.

Таким образом, уравнение преобразуется в:

2cos(2x) + 4sin(x) + 1 = 0.

Шаг 2: Замена переменной.

Чтобы упростить уравнение, введем новую переменную:

• y = sin(x),
• cos(2x) можно выразить через sin(x) с помощью формулы: cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Теперь уравнение можно записать в следующем виде:

2(1 - 2y²) + 4y + 1 = 0.

Шаг 3: Упрощение уравнения.

Раскроем скобки и упростим:

2 - 4y² + 4y + 1 = 0

или

-4y² + 4y + 3 = 0.

Умножим уравнение на -1 для удобства:

4y² - 4y - 3 = 0.

Шаг 4: Решение квадратного уравнения.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 4, b = -4, c = -3.

Подставим значения:

• b² - 4ac = (-4)² - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64.
• y = (4 ± √64) / 8 = (4 ± 8) / 8.

Таким образом, корни:

• y1 = 12/8 = 3/2 (не подходит, так как sin(x) не может быть больше 1),
• y2 = -4/8 = -1/2.

Шаг 5: Находим x.

Теперь найдем значение x:

sin(x) = -1/2.

Решения уравнения sin(x) = -1/2 на отрезке [3π/2; 3π] будут:

• x = 7π/6,
• x = 11π/6.

Шаг 6: Проверка корней на заданном отрезке.

Проверим, принадлежат ли найденные корни отрезку [3π/2; 3π]:

• 7π/6 < 3π/2 (не подходит),
• 11π/6 > 3π/2 и < 3π (подходит).

Ответ:

Корни уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]: x = 11π/6.