Как можно решить уравнение 2cos^2 x = 1 + sin x?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические уравнения cos и sin методы решения уравнений

Привет! Давай разберемся с этим уравнением! Уравнение 2cos^2 x = 1 + sin x выглядит довольно интересно, и его можно решить с помощью некоторых тригонометрических преобразований!

Вот шаги, которые помогут нам решить это уравнение:

1. Перепишем cos^2 x: Мы знаем, что cos^2 x = 1 - sin^2 x (по основной тригонометрической тождеству). Подставим это в наше уравнение:
2. 2(1 - sin^2 x) = 1 + sin x
3. Раскроем скобки: 2 - 2sin^2 x = 1 + sin x
4. Переносим все в одну сторону: 2 - 1 - sin x - 2sin^2 x = 0
5. Это дает нам: -2sin^2 x - sin x + 1 = 0
6. Умножим на -1: 2sin^2 x + sin x - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение: 2sin^2 x + sin x - 1 = 0. Давай решим его с помощью дискриминанта!

1. Находим дискриминант: D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = 1, c = -1.
2. D = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.
3. Теперь находим корни: sin x = (-b ± √D) / 2a.
4. sin x = (-1 ± 3) / 4.
5. Это дает нам два значения: sin x = 1/2 и sin x = -1.

Теперь найдем x:

• Для sin x = 1/2: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k – любое целое число.
• Для sin x = -1: x = 3π/2 + 2kπ, где k – любое целое число.

Вот и всё! Мы нашли решения нашего уравнения! Надеюсь, тебе было интересно! Удачи в учёбе!

Для решения уравнения 2cos^2 x = 1 + sin x начнем с того, что мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

cos^2 x = 1 - sin^2 x. Это позволит нам выразить косинус через синус.

Теперь подставим это тождество в уравнение:

1. Заменим cos^2 x в уравнении:
2. 2(1 - sin^2 x) = 1 + sin x

Теперь раскроем скобки:

1. 2 - 2sin^2 x = 1 + sin x

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

1. -2sin^2 x - sin x + 2 - 1 = 0
2. -2sin^2 x - sin x + 1 = 0

Умножим все уравнение на -1 для удобства:

1. 2sin^2 x + sin x - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin x. Обозначим y = sin x. Тогда уравнение примет вид:

1. 2y^2 + y - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = 1, c = -1.

1. Сначала найдем дискриминант:
2. D = b² - 4ac = 1² - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9

Теперь подставим дискриминант в формулу корней:

1. y = (-1 ± √9) / (2*2)
2. y = (-1 ± 3) / 4

Теперь найдем два корня:

1. y₁ = (2) / 4 = 0.5
2. y₂ = (-4) / 4 = -1

Теперь вернемся к переменной sin x:

1. sin x = 0.5
2. sin x = -1

Теперь найдем значения x для каждого случая:

• Для sin x = 0.5:
• x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число.
• Для sin x = -1:
• x = 3π/2 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 2cos^2 x = 1 + sin x будет:

x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, x = 3π/2 + 2πk, где k - целое число.