Как можно решить уравнение 6 sin²x - 3 sin x * cos x - 5 cos²x = 2?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические функции синус и косинус уравнения с синусом уравнения с косинусом математические методы алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 6 sin²x - 3 sin x * cos x - 5 cos²x = 2, давайте сначала упростим его и представим в более удобной форме.

Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону уравнения.

Мы можем перенести 2 на левую сторону уравнения:

6 sin²x - 3 sin x * cos x - 5 cos²x - 2 = 0

Шаг 2: Используем тригонометрические тождества.

Мы знаем, что sin²x + cos²x = 1. Это поможет нам выразить одно из тригонометрических функций через другое. Давайте выразим cos²x через sin²x:

cos²x = 1 - sin²x

Шаг 3: Подставляем cos²x в уравнение.

Теперь подставим это в наше уравнение:

1. 6 sin²x - 3 sin x * cos x - 5(1 - sin²x) - 2 = 0

Раскроем скобки:

1. 6 sin²x - 3 sin x * cos x - 5 + 5 sin²x - 2 = 0

Соберем подобные слагаемые:

1. (6 sin²x + 5 sin²x) - 3 sin x * cos x - 7 = 0
2. 11 sin²x - 3 sin x * cos x - 7 = 0

Шаг 4: Используем формулу для sin 2x.

Здесь мы можем заметить, что -3 sin x * cos x = -3/2 * sin 2x. Однако, давайте попробуем решить это уравнение в текущем виде.

Шаг 5: Применяем метод замены.

Обозначим sin x = t. Тогда у нас есть:

1. 11t² - 3t * sqrt(1 - t²) - 7 = 0

Шаг 6: Решаем уравнение относительно t.

Это уравнение является квадратным по t, но с корнем. Поэтому давайте попробуем выразить cos x через t:

cos x = sqrt(1 - t²).

Теперь подставим это в уравнение и решим его. Однако, это может привести к более сложным вычислениям, поэтому лучше использовать численные методы или графический подход для нахождения решений.

Шаг 7: Проверка решений.

После нахождения значений t, мы можем найти соответствующие значения x, используя обратные тригонометрические функции.

Шаг 8: Итог.

Таким образом, чтобы решить уравнение 6 sin²x - 3 sin x * cos x - 5 cos²x = 2, мы можем использовать тригонометрические тождества, замену переменных и, возможно, численные методы для нахождения корней. После нахождения значений t, мы находим x и проверяем их в исходном уравнении.