Как можно решить уравнение cos2x=2sin² x?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра cos2x 2sin²x тригонометрические уравнения методы решения 9 класс школьная математика Новый

Решим уравнение cos(2x) = 2sin²(x). Для начала, воспользуемся тригонометрической идентичностью для косинуса двойного угла. Мы знаем, что:

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x)
• или cos(2x) = 2cos²(x) - 1

В нашем случае мы можем использовать первую из этих формул:

Подставим эту идентичность в уравнение:

1 - 2sin²(x) = 2sin²(x)

Теперь соберем все слагаемые с sin²(x) на одну сторону:

1 - 2sin²(x) - 2sin²(x) = 0

Это упростится до:

1 - 4sin²(x) = 0

Теперь решим это уравнение для sin²(x):

4sin²(x) = 1

Разделим обе стороны на 4:

sin²(x) = 1/4

Теперь найдем sin(x):

sin(x) = ±1/2

Теперь мы можем найти x. У нас есть два случая:

1. sin(x) = 1/2
2. sin(x) = -1/2

Решим каждый из этих случаев:

• Для sin(x) = 1/2: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.
• Для sin(x) = -1/2: x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения cos(2x) = 2sin²(x) будет:

x = π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ, 7π/6 + 2kπ, 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.