Чтобы решить уравнение (x^2 + x + 1)^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Обозначим подынтегральное выражение:

   Для удобства, введем замену: пусть y = x^2 + x + 1. Тогда уравнение можно переписать как:

   y^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0.

2. Подставим y:

   Теперь нужно выразить x^2 и x через y. Из определения y мы знаем, что:

   x^2 = y - x - 1.

   Подставим это значение в уравнение:

   y^2 - 3(y - x - 1) - 1 = 0.

3. Раскроем скобки:

   Раскроем скобки и упростим уравнение:

   y^2 - 3y + 3x + 3 - 1 = 0

   y^2 - 3y + 3x + 2 = 0.

4. Выразим x:

   Теперь нам нужно выразить x через y. Мы можем сделать это, используя уравнение y = x^2 + x + 1:

   x^2 + x + (1 - y) = 0.

   Решим это квадратное уравнение по формуле:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = 1 - y.

5. Найдём дискриминант:

   Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(1 - y) = 1 - 4 + 4y = 4y - 3.

   Теперь у нас есть условие для существования корней:

   D ≥ 0 ⟹ 4y - 3 ≥ 0 ⟹ y ≥ 3/4.

6. Подставим значение y:

   Теперь мы можем вернуться к уравнению y^2 - 3y + 2 = 0 и решить его:

   D = (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1.

   Корни уравнения:

   y1 = (3 + √1) / 2 = 2, y2 = (3 - √1) / 2 = 1.

7. Теперь вернемся к x:

   Для y = 2:

   x^2 + x + 1 - 2 = 0 ⟹ x^2 + x - 1 = 0.

   D = 1 + 4 = 5, корни:

   x1 = (-1 + √5) / 2, x2 = (-1 - √5) / 2.

   Для y = 1:

   x^2 + x + 1 - 1 = 0 ⟹ x^2 + x = 0 ⟹ x(x + 1) = 0.

   Корни: x = 0, x = -1.

Теперь у нас есть все корни уравнения:

• x = 0
• x = -1
• x = (-1 + √5) / 2
• x = (-1 - √5) / 2

Таким образом, мы нашли все решения исходного уравнения.