Как можно решить уравнение sin²(2x)=cos2x+4sin⁴x? Пожалуйста, помогите.

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения уравнение sin²(2x) cos2x 4sin⁴x решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические функции задачи по алгебре Новый

Давайте решим уравнение sin²(2x) = cos(2x) + 4sin⁴(x) шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразуем обе стороны уравнения.

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos²(x) - sin²(x). Также помним, что sin²(2x) = (sin(2x))² = (2sin(x)cos(x))² = 4sin²(x)cos²(x).

Подставим это в уравнение:

• Левая часть: sin²(2x) = 4sin²(x)cos²(x).
• Правая часть: cos(2x) + 4sin⁴(x) = (cos²(x) - sin²(x)) + 4sin⁴(x).

Таким образом, уравнение примет вид:

4sin²(x)cos²(x) = cos²(x) - sin²(x) + 4sin⁴(x).

Шаг 2: Преобразуем правую часть.

Объединим все слагаемые:

• 4sin²(x)cos²(x) = cos²(x) + 4sin⁴(x) - sin²(x).

Теперь перенесем все на одну сторону:

4sin²(x)cos²(x) - cos²(x) - 4sin⁴(x) + sin²(x) = 0.

Шаг 3: Упростим уравнение.

Выделим общий множитель:

• cos²(x)(4sin²(x) - 1) + sin²(x)(1 - 4sin²(x)) = 0.

Шаг 4: Найдем корни.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю:

1. cos²(x) = 0.
2. 4sin²(x) - 1 = 0.
3. 1 - 4sin²(x) = 0.

Решим каждое из этих уравнений:

1. cos²(x) = 0:

Это означает, что cos(x) = 0. Значит, x = π/2 + kπ, где k - целое число.

2. 4sin²(x) - 1 = 0:

Решаем: 4sin²(x) = 1, отсюда sin²(x) = 1/4, значит sin(x) = ±1/2. Это дает x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ.

3. 1 - 4sin²(x) = 0:

Решаем: 4sin²(x) = 1, отсюда sin²(x) = 1/4, значит sin(x) = ±1/2. Это дает те же корни, что и в предыдущем пункте.

Шаг 5: Записываем окончательный ответ.

Таким образом, все решения уравнения:

• x = π/2 + kπ, где k - целое число;
• x = π/6 + 2kπ, где k - целое число;
• x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь у вас есть все шаги для решения данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!