Как можно решить уравнение sin2x + sin4x = |cosx|?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения уравнение sin2x + sin4x решение тригонометрических уравнений алгебра 9 класс sin2x sin4x cosX математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение sin(2x) + sin(4x) = |cos(x)|, мы можем следовать нескольким шагам. Давайте разберем это уравнение по частям.

Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения

Мы знаем, что sin(4x) можно выразить через sin(2x) с помощью формул приведения. Используем формулу:

• sin(4x) = 2 * sin(2x) * cos(2x)

Таким образом, уравнение можно переписать как:

• sin(2x) + 2 * sin(2x) * cos(2x) = |cos(x)|

Теперь вынесем sin(2x) за скобки:

• sin(2x) * (1 + 2 * cos(2x)) = |cos(x)|

Шаг 2: Исследуем возможные случаи

У нас есть два множителя, из которых один (sin(2x)) может быть равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: sin(2x) = 0
2. Случай 2: 1 + 2 * cos(2x) = |cos(x)|

Случай 1: sin(2x) = 0

Решим это уравнение:

• 2x = n * π, где n – целое число.
• x = n * π / 2.

Теперь подставим это значение в правую часть уравнения, чтобы проверить, удовлетворяет ли оно условию |cos(x)|:

• cos(n * π / 2) = 0, если n – нечетное число, и cos(n * π / 2) = ±1, если n – четное число.

Таким образом, значения x, которые мы получаем, являются решениями уравнения.

Случай 2: 1 + 2 * cos(2x) = |cos(x)|

Теперь решим это уравнение. Мы можем рассмотреть два подслучая в зависимости от знака cos(x):

• Подслучай 2.1: 1 + 2 * cos(2x) = cos(x)
• Подслучай 2.2: 1 + 2 * cos(2x) = -cos(x)

Подслучай 2.1: 1 + 2 * cos(2x) = cos(x)

Переносим cos(x) влево:

• 2 * cos(2x) - cos(x) + 1 = 0

Это уравнение можно решить с помощью тригонометрических тождеств или численно.

Подслучай 2.2: 1 + 2 * cos(2x) = -cos(x)

Аналогично, перенесем -cos(x) влево:

• 2 * cos(2x) + cos(x) + 1 = 0

Это уравнение также решается с использованием тригонометрических тождеств или численно.

Шаг 3: Сбор всех решений

После того как мы рассмотрели все случаи и подслучаи, мы собираем все найденные решения:

• Решения из случая 1: x = n * π / 2.
• Решения из случая 2: решения уравнений, которые мы получили в подслучаях.

Таким образом, окончательное решение уравнения будет состоять из всех x, которые мы нашли в ходе решения.