Как можно решить уравнение: x^3 - 2x^2 + x = (x^2 - 2x + 1)^2?

Алгебра 9 класс Уравнения и неравенства решение уравнения алгебра 9 класс уравнение x^3 квадратное уравнение методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение x^3 - 2x^2 + x = (x^2 - 2x + 1)^2, начнем с упрощения правой части уравнения.

Сначала заметим, что (x^2 - 2x + 1) можно представить как (x - 1)^2. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

x^3 - 2x^2 + x = ((x - 1)^2)^2

Теперь упростим правую часть:

((x - 1)^2)^2 = (x - 1)^4

Теперь у нас есть следующее уравнение:

x^3 - 2x^2 + x = (x - 1)^4

Теперь раскроем (x - 1)^4. Для этого воспользуемся формулой бинома:

(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1

Теперь подставим это выражение в уравнение:

x^3 - 2x^2 + x = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1

Переносим все члены в одну сторону:

0 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 - x^3 + 2x^2 - x

Соберем подобные члены:

• x^4
• -4x^3 - x^3 = -5x^3
• 6x^2 + 2x^2 = 8x^2
• -4x - x = -5x
• +1

Таким образом, у нас получается:

0 = x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1

Теперь мы имеем многочлен 4-й степени. Для нахождения корней можно использовать метод подбора, деление многочленов или теорему Виета.

Попробуем найти корни методом подбора. Подставим некоторые целые значения:

• При x = 1: 1^4 - 5*1^3 + 8*1^2 - 5*1 + 1 = 1 - 5 + 8 - 5 + 1 = 0 (корень)

Теперь, зная, что x = 1 является корнем, можем разделить многочлен на (x - 1) с помощью деления многочленов. После деления получаем:

x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = (x - 1)(x^3 - 4x^2 + 4x - 1)

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение x^3 - 4x^2 + 4x - 1 = 0. Мы можем попробовать снова подбирать корни или использовать численные методы.

После подбора корней для кубического уравнения можно выяснить, что x = 1 также является корнем. Разделим кубическое уравнение на (x - 1):

x^3 - 4x^2 + 4x - 1 = (x - 1)(x^2 - 3x + 1)

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 3x + 1 = 0 с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*1 = 9 - 4 = 5

Корни квадратного уравнения:

x = (3 ± √5) / 2

Таким образом, окончательные корни уравнения:

• x = 1
• x = (3 + √5) / 2
• x = (3 - √5) / 2

На этом решение уравнения завершено. Ответ: x = 1, x = (3 + √5) / 2, x = (3 - √5) / 2.