Помогите решить уравнение: y^6 - 4y^4 = y^2 - 4

Алгебра 9 класс Уравнения и неравенства алгебра уравнение решение y^6 y^4 y^2 математические задачи полиномиальные уравнения факторизация корни уравнения Новый

Чтобы решить уравнение y^6 - 4y^4 = y^2 - 4, начнем с того, что перенесем все члены на одну сторону уравнения. Это позволит нам упростить его и привести к стандартному виду:

• y^6 - 4y^4 - y^2 + 4 = 0

Теперь у нас есть многочлен шестой степени. Чтобы упростить его, мы можем сделать замену переменной. Заметим, что у нас есть члены с y^4 и y^2. Давайте введем новую переменную:

• Пусть x = y^2.

Тогда y^4 = x^2, а y^6 = x^3. Подставим эти значения в уравнение:

• x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0.

Теперь у нас есть кубическое уравнение. Для его решения можно попробовать найти корни с помощью подбора. Проверим, есть ли целые корни, подставляя несколько значений x:

• Пусть x = 1: 1^3 - 4*1^2 - 1 + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0. Значит, x = 1 — корень.
• Теперь воспользуемся делением многочлена, чтобы упростить уравнение. Разделим x^3 - 4x^2 - x + 4 на (x - 1).

При делении мы получим:

• x^3 - 4x^2 - x + 4 = (x - 1)(x^2 - 3x - 4).

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 3x - 4 = 0. Для этого используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25.
• Корни квадратного уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √D) / 2a.

Подставим значения:

• x1 = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4.
• x2 = (3 - √25) / 2 = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1.

Теперь у нас есть три корня для x:

• x1 = 1,
• x2 = 4,
• x3 = -1.

Теперь вернемся к переменной y, помня, что x = y^2:

• y^2 = 1 ⇒ y = ±1,
• y^2 = 4 ⇒ y = ±2,
• y^2 = -1 ⇒ y не имеет действительных корней.

Таким образом, действительные решения уравнения:

• y = 1,
• y = -1,
• y = 2,
• y = -2.

Ответ: y = 1, -1, 2, -2.