Как можно решить уравнение x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1=0?

Алгебра 9 класс Уравнения высших степеней уравнение решение уравнения алгебра 9 класс x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 = 0 можно использовать метод разложения на множители или нахождение корней с помощью теоремы Виета.

Давайте рассмотрим это уравнение более подробно.

1. Проверка на наличие рациональных корней:

   Сначала мы можем проверить, есть ли у нашего уравнения рациональные корни. Для этого воспользуемся теоремой рациональных корней, которая гласит, что возможные рациональные корни имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена (в нашем случае 1), а q - делители старшего коэффициента (также 1).

   Таким образом, возможные рациональные корни: ±1.

2. Подстановка возможных корней:

   Теперь подставим x = 1:

   • x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 = 1 - 7 + 14 - 7 + 1 = 2 (не корень)

   Теперь подставим x = -1:

   • x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 = 1 + 7 + 14 + 7 + 1 = 30 (не корень)
3. Использование деления многочленов:

   Так как рациональных корней не найдено, попробуем разложить многочлен на множители. Посмотрим на структуру уравнения и попробуем его упростить.

   Мы можем заметить, что коэффициенты могут быть связаны с биномиальными коэффициентами. Попробуем представить уравнение в виде:

   (x^2 - ax + 1)(x^2 - bx + 1) = 0.

   При раскрытии скобок получим:

   • x^4 - (a+b)x^3 + (ab + 2)x^2 - (a+b)x + 1.

   Сравнив коэффициенты, получаем систему уравнений:

   • a + b = 7
   • ab + 2 = 14
   • a + b = 7

   Из второго уравнения выразим ab:

   • ab = 12.

   Теперь у нас есть система:

   • a + b = 7
   • ab = 12.
4. Решение системы:

   Решим данную систему уравнений. Подставим b = 7 - a в уравнение ab = 12:

   • a(7 - a) = 12
   • 7a - a^2 = 12
   • a^2 - 7a + 12 = 0.

   Теперь найдем дискриминант:

   • D = (-7)^2 - 4*1*12 = 49 - 48 = 1.

   Дискриминант положителен, следовательно, уравнение имеет два различных корня:

   • a1 = (7 + sqrt(1))/2 = 4,
   • a2 = (7 - sqrt(1))/2 = 3.
5. Нахождение корней:

   Теперь мы можем выразить b:

   • b1 = 3, b2 = 4.

   Таким образом, мы можем записать многочлен в виде:

   (x^2 - 4x + 1)(x^2 - 3x + 1) = 0.

6. Решаем каждое из уравнений:

   Теперь решим каждое из уравнений:

   • Для x^2 - 4x + 1 = 0: D = 16 - 4 = 12, корни:
   • x1 = (4 + sqrt(12))/2 = 2 + sqrt(3),
   • x2 = (4 - sqrt(12))/2 = 2 - sqrt(3).
   • Для x^2 - 3x + 1 = 0: D = 9 - 4 = 5, корни:
   • x3 = (3 + sqrt(5))/2,
   • x4 = (3 - sqrt(5))/2.

Таким образом, уравнение x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 = 0 имеет четыре корня:

• x1 = 2 + sqrt(3),
• x2 = 2 - sqrt(3),
• x3 = (3 + sqrt(5))/2,
• x4 = (3 - sqrt(5))/2.