Как решить уравнение x^4 - 24x^2 - 25 = 0, где ^ обозначает возведение в степень?

Алгебра 9 класс Уравнения высших степеней уравнение алгебра 9 класс x^4 24x^2 25 решение возведение в степень полиномиальное уравнение корни уравнения квадратное уравнение метод решения математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение x^4 - 24x^2 - 25 = 0, начнем с того, что заметим, что у нас есть степень x^4 и x^2. Это позволяет нам упростить уравнение, заменив x^2 на новую переменную.

Шаг 1: Замена переменной

Обозначим: x^2 = t. Тогда x^4 можно записать как t^2. Подставим это в уравнение:

t^2 - 24t - 25 = 0.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы его решить, найдем дискриминант D:

• D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -24, c = -25.
• D = (-24)^2 - 4 * 1 * (-25) = 576 + 100 = 676.

Теперь дискриминант положительный, что означает, что у уравнения есть два различных корня.

Шаг 3: Находим корни уравнения

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• t1 = (b + √D) / (2a) = (24 + √676) / 2 = (24 + 26) / 2 = 25.
• t2 = (b - √D) / (2a) = (24 - √676) / 2 = (24 - 26) / 2 = -1.

Шаг 4: Возвращаемся к переменной x

Теперь мы вернемся к переменной x, подставляя значения t:

• Для t1 = 25: x^2 = 25. Это дает нам два корня: x = √25 = 5 и x = -√25 = -5.
• Для t2 = -1: x^2 = -1. Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Итог

Таким образом, у нашего уравнения есть два действительных корня: x = 5 и x = -5.

Ответ: x = 5 и x = -5.