Как можно решить уравнение x^5 - x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 12x - 12 = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения высокой степени решение уравнения алгебра 9 класс уравнение X^5 корни уравнения математические методы Новый

Решение уравнения x^5 - x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 12x - 12 = 0 можно начать с поиска корней с помощью метода подбора или использования теоремы о рациональных корнях.

Шаг 1: Поиск рациональных корней

Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни уравнения имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена (в данном случае -12), а q - делители старшего коэффициента (в данном случае 1).

Делители -12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Поскольку старший коэффициент равен 1, делители равны ±1.

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Шаг 2: Подбор корней

Теперь подставим эти значения в уравнение и проверим, являются ли они корнями:

• Для x = 1: 1^5 - 1^4 - 7*1^3 + 7*1^2 + 12*1 - 12 = 1 - 1 - 7 + 7 + 12 - 12 = 0. Значит, x = 1 - корень.
• Для x = -1: (-1)^5 - (-1)^4 - 7*(-1)^3 + 7*(-1)^2 + 12*(-1) - 12 = -1 - 1 + 7 + 7 - 12 - 12 = -12. Не корень.
• Для x = 2: 2^5 - 2^4 - 7*2^3 + 7*2^2 + 12*2 - 12 = 32 - 16 - 56 + 28 + 24 - 12 = 0. Значит, x = 2 - корень.
• Для x = 3: 3^5 - 3^4 - 7*3^3 + 7*3^2 + 12*3 - 12 = 243 - 81 - 189 + 63 + 36 - 12 = 0. Значит, x = 3 - корень.
• Для x = -2: (-2)^5 - (-2)^4 - 7*(-2)^3 + 7*(-2)^2 + 12*(-2) - 12 = -32 - 16 + 56 + 28 - 24 - 12 = -32. Не корень.
• Для x = -3: (-3)^5 - (-3)^4 - 7*(-3)^3 + 7*(-3)^2 + 12*(-3) - 12 = -243 - 81 + 189 + 63 - 36 - 12 = -120. Не корень.
• Для x = 4: 4^5 - 4^4 - 7*4^3 + 7*4^2 + 12*4 - 12 = 1024 - 256 - 448 + 112 + 48 - 12 = 468. Не корень.
• Для x = 6: 6^5 - 6^4 - 7*6^3 + 7*6^2 + 12*6 - 12 = 7776 - 1296 - 1512 + 252 + 72 - 12 = 5820. Не корень.
• Для x = 12: 12^5 - 12^4 - 7*12^3 + 7*12^2 + 12*12 - 12 = 248832 - 20736 - 1008 + 1008 + 144 - 12 = 228228. Не корень.

Итак, мы нашли три корня: x = 1, x = 2 и x = 3.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь мы можем использовать деление многочлена, чтобы упростить уравнение:

1. Делим x^5 - x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 12x - 12 на (x - 1), (x - 2) и (x - 3).
2. После деления на (x - 1) получаем: x^4 + 0x^3 - 7x^2 + 7x + 12.
3. После деления на (x - 2) получаем: x^3 - 3x^2 + 0x + 6.
4. После деления на (x - 3) получаем: x^2 + 0x + 2.

Таким образом, у нас остается уравнение x^2 + 2 = 0.

Шаг 4: Решение остаточного уравнения

Решаем уравнение x^2 + 2 = 0:

Это уравнение не имеет действительных корней, так как x^2 = -2 не имеет решений в области действительных чисел.

Итог:

Корни уравнения x^5 - x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 12x - 12 = 0:

• x = 1
• x = 2
• x = 3

И два комплексных корня: x = i√2 и x = -i√2.