Для решения уравнения x^5 - x^4 - x + 1 = 0, давайте рассмотрим несколько шагов, которые помогут нам найти корни этого уравнения.

Сначала мы можем воспользоваться теоремой о рациональных корнях. Эта теорема говорит, что если у уравнения есть рациональный корень, то он может быть представлен в виде p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае 1), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 1).

Таким образом, возможные рациональные корни: 1 и -1.

• Подставим x = 1:

1^5 - 1^4 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0. Ура! x = 1 является корнем.

• Теперь подставим x = -1:

(-1)^5 - (-1)^4 - (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0. Увы, x = -1 не является корнем.

Теперь, когда мы нашли один корень (x = 1), мы можем разделить наш многочлен на (x - 1) с помощью деления многочленов или синтетического деления.

При делении x^5 - x^4 - x + 1 на (x - 1) получаем:

• x^5 : x = x^4
• Умножаем: x^4 * (x - 1) = x^5 - x^4
• Вычитаем: (x^5 - x^4) - (x^5 - x^4) = 0
• Опускаем следующий член: -x + 1
• Теперь делим -x на x: -x : x = -1
• Умножаем: -1 * (x - 1) = -x + 1
• Вычитаем: (-x + 1) - (-x + 1) = 0

Таким образом, мы делим x^5 - x^4 - x + 1 на (x - 1) и получаем x^4 - 1.

Теперь у нас есть уравнение x^4 - 1 = 0. Это разность квадратов:

(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0.

• Решим x^2 - 1 = 0:

x^2 = 1, следовательно, x = 1 или x = -1.

• Решим x^2 + 1 = 0:

x^2 = -1, следовательно, x = i или x = -i (где i - мнимая единица).

Таким образом, мы нашли все корни уравнения x^5 - x^4 - x + 1 = 0:

• x = 1
• x = -1
• x = i
• x = -i

Это и есть все корни данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!