Как можно упростить следующее выражение: Cos4x + 4cos2x + 3?

Алгебра 9 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 9 класс cos 4x cos 2x математические выражения Тригонометрия алгебраические операции Новый

Для упрощения выражения Cos4x + 4cos2x + 3 мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями и заменами.

Шаг 1: Используем формулу для косинуса двойного угла. Мы знаем, что:

• cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Шаг 2: Теперь применим эту формулу, чтобы выразить cos(4x). Напомним, что:

• cos(4x) = cos(2(2x)) = 2cos^2(2x) - 1

Шаг 3: Теперь подставим cos(2x) в это выражение:

• cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Таким образом, мы можем выразить cos(4x) как:

• cos(4x) = 2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1

Шаг 4: Раскроем квадрат:

• (2cos^2(x) - 1)^2 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1

Следовательно:

• cos(4x) = 2(4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1) - 1

Шаг 5: Упрощаем это выражение:

• cos(4x) = 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 2 - 1
• cos(4x) = 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1

Шаг 6: Теперь подставим это обратно в наше исходное выражение:

• Cos4x + 4cos2x + 3 = (8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1) + 4cos^2(x) + 3

Шаг 7: Объединим подобные слагаемые:

• 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 4cos^2(x) + 1 + 3 = 8cos^4(x) - 4cos^2(x) + 4

Таким образом, окончательно упрощенное выражение будет:

8cos^4(x) - 4cos^2(x) + 4