Чтобы упростить выражение sin^3 x (1+ctg x) + cos^3 x (1+tg x), давайте начнем с разложения каждого из слагаемых.

Первое слагаемое: sin^3 x (1 + ctg x).

• Здесь ctg x можно выразить через sin x и cos x: ctg x = cos x / sin x.
• Подставим это значение: sin^3 x (1 + cos x / sin x) = sin^3 x + sin^3 x * (cos x / sin x).
• Упростим: sin^3 x * (cos x / sin x) = sin^2 x * cos x.
• Таким образом, первое слагаемое становится: sin^3 x + sin^2 x * cos x.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: cos^3 x (1 + tg x).

• Здесь tg x также можно выразить: tg x = sin x / cos x.
• Подставим это значение: cos^3 x (1 + sin x / cos x) = cos^3 x + cos^3 x * (sin x / cos x).
• Упростим: cos^3 x * (sin x / cos x) = cos^2 x * sin x.
• Таким образом, второе слагаемое становится: cos^3 x + cos^2 x * sin x.

Теперь объединим оба слагаемых:

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

• Соберем все слагаемые с sin^3 x и cos^3 x: sin^3 x + cos^3 x.
• Соберем все слагаемые с sin^2 x * cos x и cos^2 x * sin x: sin^2 x * cos x + cos^2 x * sin x.

Теперь у нас есть:

Согласно формуле суммы кубов, sin^3 x + cos^3 x = (sin x + cos x)(sin^2 x - sin x * cos x + cos^2 x). При этом sin^2 x + cos^2 x = 1, так что выражение упрощается до:

Теперь добавим оставшиеся слагаемые:

Объединив все, мы получаем окончательное упрощенное выражение:

Таким образом, мы можем записать окончательный результат в виде:

Это и будет упрощенным выражением.