Чтобы упростить выражение ctgα(1 - cos2α),давайте последовательно разберем каждую часть и используем тригонометрические тождества.

Шаг 1: Вспомним определение котангенса.

• Котангенс угла α определяется как ctgα = cosα/sinα.

Шаг 2: Упростим выражение 1 - cos2α.

• Согласно тригонометрическому тождеству, мы знаем, что cos2α = 1 - 2sin²α.
• Следовательно, 1 - cos2α = 1 - (1 - 2sin²α) = 2sin²α.

Шаг 3: Подставим упрощенное выражение обратно в оригинал.

• Теперь подставим 1 - cos2α в наше выражение: ctgα(1 - cos2α) = ctgα(2sin²α).

Шаг 4: Используем определение котангенса для упрощения.

• Теперь подставим ctgα = cosα/sinα: ctgα(2sin²α) = (cosα/sinα)(2sin²α).

Шаг 5: Упростим выражение.

• При умножении мы можем сократить sinα в числителе и знаменателе: (cosα * 2sin²α) / sinα = 2cosαsinα.

Шаг 6: Введем новое тригонометрическое тождество.

• Мы знаем, что 2sinαcosα = sin(2α) (это также известно как формула удвоенного угла).

Итак, окончательный результат:

Упрощенное выражение ctgα(1 - cos2α) равно sin(2α).