Как можно вычислить производную функции: (4х+1)*√(х-1)?

Алгебра 9 класс Производные функций вычисление производной производная функции алгебра 9 класс правила дифференцирования производная сложной функции Новый

Чтобы вычислить производную функции f(x) = (4x + 1) * √(x - 1), мы будем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения равна:

(u*v)' = u' * v + u * v'

В нашем случае:

• u(x) = 4x + 1
• v(x) = √(x - 1)

Теперь найдем производные u' и v'.

1. Находим u':
• u(x) = 4x + 1
• u'(x) = 4 (производная от 4x) + 0 (производная от 1) = 4
2. Находим v':
• v(x) = √(x - 1) = (x - 1)^(1/2)
• Используем правило дифференцирования степенной функции:
• v'(x) = (1/2) * (x - 1)^(-1/2) * (1) (производная внутренней функции x - 1 равна 1)
• Таким образом, v'(x) = 1/(2√(x - 1))

Теперь, подставим найденные производные в формулу правила произведения:

f'(x) = u' * v + u * v'

Подставляем значения:

f'(x) = 4 * √(x - 1) + (4x + 1) * (1/(2√(x - 1)))

Теперь можно упростить выражение:

f'(x) = 4√(x - 1) + (4x + 1)/(2√(x - 1))

Если необходимо, можно привести к общему знаменателю:

f'(x) = (8(x - 1) + 4x + 1) / (2√(x - 1))

f'(x) = (8x - 8 + 4x + 1) / (2√(x - 1))

f'(x) = (12x - 7) / (2√(x - 1))

Таким образом, производная функции f(x) = (4x + 1) * √(x - 1) равна:

f'(x) = (12x - 7) / (2√(x - 1))