Как можно выразить sin^6 альфа + cos^6 альфа через cos^4 альфа?

Алгебра 9 класс Тригонометрические функции и их свойства алгебра 9 класс sin^6 альфа cos^6 альфа cos^4 альфа тригонометрические функции выражение через cos алгебраические преобразования Новый

Чтобы выразить sin^6 альфа + cos^6 альфа через cos^4 альфа, мы можем воспользоваться некоторыми алгебраическими преобразованиями и тригонометрическими идентичностями. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Используем формулу суммы кубов. Мы знаем, что a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). В нашем случае a = sin^2 альфа и b = cos^2 альфа. Тогда:
2. Запишем sin^6 альфа + cos^6 альфа как (sin^2 альфа)^3 + (cos^2 альфа)^3:
3. Применим формулу:
• sin^6 альфа + cos^6 альфа = (sin^2 альфа + cos^2 альфа)((sin^2 альфа)^2 - sin^2 альфа * cos^2 альфа + (cos^2 альфа)^2).
4. Используем тригонометрическую идентичность: sin^2 альфа + cos^2 альфа = 1. Подставим это в уравнение:
• sin^6 альфа + cos^6 альфа = 1 * ((sin^2 альфа)^2 - sin^2 альфа * cos^2 альфа + (cos^2 альфа)^2).
5. Упрощаем выражение:
• (sin^2 альфа)^2 + (cos^2 альфа)^2 - sin^2 альфа * cos^2 альфа.
6. Теперь выразим (sin^2 альфа)^2 и (cos^2 альфа)^2 через cos^4 альфа:
• sin^2 альфа = 1 - cos^2 альфа, следовательно, (sin^2 альфа)^2 = (1 - cos^2 альфа)^2 = 1 - 2cos^2 альфа + cos^4 альфа.
• cos^2 альфа = cos^2 альфа, следовательно, (cos^2 альфа)^2 = cos^4 альфа.
7. Теперь подставим все это в наше выражение:
• sin^6 альфа + cos^6 альфа = (1 - 2cos^2 альфа + cos^4 альфа) + cos^4 альфа - (1 - cos^2 альфа)cos^2 альфа.
8. Упростим последнее выражение:
• sin^6 альфа + cos^6 альфа = 1 - 2cos^2 альфа + 2cos^4 альфа - cos^4 альфа + cos^2 альфа.
• Это упростится до: 1 - cos^2 альфа + cos^4 альфа.
9. Итак, мы получили окончательное выражение:
• sin^6 альфа + cos^6 альфа = 1 - 3cos^2 альфа + 2cos^4 альфа.

Таким образом, мы выразили sin^6 альфа + cos^6 альфа через cos^4 альфа.