Как найти корни уравнения sinx - √3cosx = 1 на отрезке [-2π; 4π]?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения корни уравнения sinx √3cosx отрезок [-2π; 4π] алгебра 9 класс Новый

Чтобы найти корни уравнения sin(x) - √3cos(x) = 1 на отрезке [-2π; 4π], следуем следующим шагам:

Шаг 1: Преобразование уравнения

Сначала мы можем преобразовать уравнение, чтобы изолировать одну из тригонометрических функций. Перепишем его так:

• sin(x) = 1 + √3cos(x)

Шаг 2: Использование тригонометрической идентичности

Теперь мы воспользуемся известной тригонометрической идентичностью: sin²(x) + cos²(x) = 1. Подставим sin(x) из нашего уравнения:

• (1 + √3cos(x))² + cos²(x) = 1

Шаг 3: Раскрытие скобок

Раскроем скобки:

• 1 + 2√3cos(x) + 3cos²(x) + cos²(x) = 1

Соберем все члены в одну сторону:

• 4cos²(x) + 2√3cos(x) = 0

Шаг 4: Вынесение общего множителя

Вынесем общий множитель:

• 2cos(x)(2cos(x) + √3) = 0

Шаг 5: Решение уравнения

Теперь у нас есть два множителя, каждый из которых равен нулю:

• 2cos(x) = 0
• 2cos(x) + √3 = 0

Шаг 6: Находим корни

Решаем первое уравнение:

• cos(x) = 0

Корни этого уравнения на отрезке [-2π; 4π] будут:

• x = -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2

Теперь решим второе уравнение:

• 2cos(x) + √3 = 0
• cos(x) = -√3/2

Корни этого уравнения на отрезке [-2π; 4π] будут:

• x = 5π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Подставляем целые значения k, чтобы найти корни на заданном отрезке:

• k = -1: x = 5π/6 - 2π = -7π/6, x = 7π/6 - 2π = -5π/6
• k = 0: x = 5π/6, x = 7π/6
• k = 1: x = 5π/6 + 2π = 17π/6, x = 7π/6 + 2π = 19π/6

Шаг 7: Сбор всех корней

Теперь соберем все найденные корни:

• x = -3π/2
• x = -π/2
• x = π/2
• x = 3π/2
• x = -7π/6
• x = -5π/6
• x = 5π/6
• x = 7π/6
• x = 17π/6
• x = 19π/6

Таким образом, все корни уравнения sin(x) - √3cos(x) = 1 на отрезке [-2π; 4π] найдены.