Как найти область определения выражения: корень из (x^2-11x+24)^-1?

Алгебра 9 класс Область определения функции область определения корень из выражения алгебра 9 класс нахождение области определения алгебраические выражения Новый

Чтобы найти область определения выражения корень из (x^2 - 11x + 24)^-1, нам нужно учитывать два условия:

1. Содержимое под корнем должно быть больше нуля, так как корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.
2. Содержимое в знаменателе (в данном случае выражение (x^2 - 11x + 24)) не должно равняться нулю, чтобы избежать деления на ноль.

Теперь давайте разберем каждое из условий по порядку.

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения

Сначала решим уравнение x^2 - 11x + 24 = 0 для нахождения корней:

• Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -11, c = 24.
• Находим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 * 1 * 24 = 121 - 96 = 25.
• Теперь находим корни: x1 = (11 + √25) / 2 = (11 + 5) / 2 = 16 / 2 = 8 и x2 = (11 - √25) / 2 = (11 - 5) / 2 = 6 / 2 = 3.

Таким образом, у нас есть два корня: x1 = 8 и x2 = 3.

Шаг 2: Определим знаки выражения

Теперь мы можем исследовать знак выражения x^2 - 11x + 24 на интервалах, которые определяются корнями:

• Интервал (-∞, 3)
• Интервал (3, 8)
• Интервал (8, +∞)

Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала в выражение x^2 - 11x + 24:

• Для x = 0 (интервал (-∞, 3)): 0^2 - 11*0 + 24 = 24 > 0 (положительно).
• Для x = 5 (интервал (3, 8)): 5^2 - 11*5 + 24 = 25 - 55 + 24 = -6 < 0 (отрицательно).
• Для x = 9 (интервал (8, +∞)): 9^2 - 11*9 + 24 = 81 - 99 + 24 = 6 > 0 (положительно).

Таким образом, выражение x^2 - 11x + 24 положительно на интервалах (-∞, 3) и (8, +∞), и отрицательно на интервале (3, 8).

Шаг 3: Найдем область определения

Поскольку мы ищем область определения выражения корень из (x^2 - 11x + 24)^-1, нам необходимо, чтобы (x^2 - 11x + 24) > 0. Это возможно на интервалах:

• (-∞, 3)
• (8, +∞)

Таким образом, область определения данного выражения будет:

Ответ: (-∞, 3) ∪ (8, +∞)