Чтобы решить неравенство x² + 9x + 18 ≤ 0, следуем следующим шагам:

1. Найдем корни соответствующего уравнения: Для начала мы должны решить уравнение x² + 9x + 18 = 0. Для этого можно использовать дискриминант.
2. Вычислим дискриминант: Дискриминант D вычисляется по формуле:

   D = b² - 4ac

   где a = 1, b = 9, c = 18.

   Подставим значения:

   D = 9² - 4 * 1 * 18 = 81 - 72 = 9.

3. Найдем корни уравнения: Корни уравнения можно найти по формуле:

   x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

   Подставим значения:

   x₁ = (-9 + √9) / (2 * 1) = (-9 + 3) / 2 = -6 / 2 = -3.

   x₂ = (-9 - √9) / (2 * 1) = (-9 - 3) / 2 = -12 / 2 = -6.

4. Запишем корни: Мы нашли корни уравнения: x₁ = -3 и x₂ = -6.
5. Определим интервалы: Теперь мы определим интервалы, на которых будем проверять знак функции. У нас есть три интервала:
   • (-∞, -6)
   • (-6, -3)
   • (-3, +∞)
6. Проверим знак функции в каждом интервале: Для этого подберем тестовые точки из каждого интервала:
   • Для интервала (-∞, -6), возьмем точку x = -7:

     f(-7) = (-7)² + 9(-7) + 18 = 49 - 63 + 18 = 4 (положительно).

   • Для интервала (-6, -3), возьмем точку x = -5:

     f(-5) = (-5)² + 9(-5) + 18 = 25 - 45 + 18 = -2 (отрицательно).

   • Для интервала (-3, +∞), возьмем точку x = 0:

     f(0) = 0² + 9(0) + 18 = 18 (положительно).

7. Соберем результаты: Мы получили следующие знаки функции:
   • (-∞, -6): положительно
   • (-6, -3): отрицательно
   • (-3, +∞): положительно
8. Запишем ответ: Неравенство x² + 9x + 18 ≤ 0 выполняется на интервале [-6, -3], включая сами корни, так как мы ищем неравенство "меньше или равно".

Таким образом, решение неравенства x² + 9x + 18 ≤ 0 это интервал [-6, -3].