Как найти решение уравнения 2 tgx / (1 + tg^2x) = -1/2?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические уравнения tgx уравнение с тангенсом математические задачи Новый

Для решения уравнения 2 tg(x) / (1 + tg^2(x)) = -1/2 будем следовать следующим шагам:

1. Упростим уравнение. Умножим обе стороны уравнения на (1 + tg^2(x)), чтобы избавиться от дроби:
• 2 tg(x) = -1/2 * (1 + tg^2(x))
2. Умножим обе стороны на 2 для удобства:
• 4 tg(x) = -(1 + tg^2(x))
3. Переносим все члены в одну сторону:
• 4 tg(x) + tg^2(x) + 1 = 0
4. Обозначим tg(x) как t:
• tg^2(x) + 4tg(x) + 1 = 0
• t^2 + 4t + 1 = 0
5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * 1 = 16 - 4 = 12
6. Находим корни уравнения:
• t1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-4 + sqrt(12)) / 2
• t2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-4 - sqrt(12)) / 2
7. Упростим корни:
• t1 = (-4 + 2sqrt(3)) / 2 = -2 + sqrt(3)
• t2 = (-4 - 2sqrt(3)) / 2 = -2 - sqrt(3)
8. Теперь обратим внимание на tg(x):
• tg(x) = -2 + sqrt(3)
• tg(x) = -2 - sqrt(3)
9. Находим x:
• Для tg(x) = -2 + sqrt(3): x = arctg(-2 + sqrt(3)) + k*pi, где k - целое число.
• Для tg(x) = -2 - sqrt(3): x = arctg(-2 - sqrt(3)) + k*pi, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли решения уравнения. Не забудьте учесть, что тангенс имеет период pi, поэтому решения будут повторяться через pi.