Как найти решение уравнения 6 - 10cos^2X + 4cos2X = sin2X?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические уравнение решение уравнения алгебра Тригонометрия cos sin cos^2x sin2x cos2x математическое уравнение Новый

Чтобы решить уравнение 6 - 10cos²X + 4cos2X = sin2X, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Сначала вспомним, что sin2X и cos2X можно выразить через cosX. Мы знаем, что:

• sin2X = 2sinXcosX
• cos2X = 2cos²X - 1

Теперь подставим cos2X в уравнение:

У нас есть:

6 - 10cos²X + 4(2cos²X - 1) = 2sinXcosX

Раскроем скобки:

6 - 10cos²X + 8cos²X - 4 = 2sinXcosX

Соберем подобные слагаемые:

2 - 2cos²X = 2sinXcosX

Теперь упростим уравнение, разделив обе стороны на 2:

1 - cos²X = sinXcosX

Заменим sin²X через cos²X, используя основное тригонометрическое тождество sin²X + cos²X = 1:

sin²X = 1 - cos²X

Тогда у нас получится:

1 - cos²X = sqrt(1 - cos²X) * cosX

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(1 - cos²X)² = (sinXcosX)²

Раскроем скобки:

1 - 2cos²X + cos⁴X = sin²Xcos²X

Заменяем sin²X на (1 - cos²X):

1 - 2cos²X + cos⁴X = (1 - cos²X)cos²X

Теперь упростим правую часть:

1 - 2cos²X + cos⁴X = cos²X - cos⁴X

Переносим все в одну сторону:

1 - 2cos²X + 2cos⁴X - cos²X = 0

Соберем подобные слагаемые:

2cos⁴X - 3cos²X + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos²X. Обозначим cos²X как y:

2y² - 3y + 1 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-3)² - 4*2*1 = 9 - 8 = 1

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

y₁ = (3 + sqrt(D)) / (2*2) = (3 + 1) / 4 = 1

y₂ = (3 - sqrt(D)) / (2*2) = (3 - 1) / 4 = 0.5

Теперь вернемся к cos²X:

• Если cos²X = 1, то cosX = ±1, что дает X = 0, π.
• Если cos²X = 0.5, то cosX = ±sqrt(0.5) = ±sqrt(2)/2, что дает X = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Таким образом, решения уравнения 6 - 10cos²X + 4cos2X = sin2X:

• X = 0
• X = π
• X = π/4
• X = 3π/4
• X = 5π/4
• X = 7π/4

Не забудьте проверить каждое решение в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они действительно являются корнями.