Как найти решение уравнения: cos 2π/7 cos 4π/7 + cos 2π/7 cos 6π/7 + cos 4π/7 cos 6π/7?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические функции cos 2π/7 cos 4π/7 cos 6π/7 свойства косинуса задачи по алгебре Новый

Чтобы найти решение уравнения cos(2π/7) cos(4π/7) + cos(2π/7) cos(6π/7) + cos(4π/7) cos(6π/7), мы можем использовать некоторые тригонометрические свойства и формулы.

Сначала обозначим:

• A = cos(2π/7)
• B = cos(4π/7)
• C = cos(6π/7)

Таким образом, уравнение принимает вид:

A B + A C + B * C

Теперь мы можем воспользоваться формулой для произведения косинусов:

cos(x) * cos(y) = (1/2)(cos(x + y) + cos(x - y)).

Применим эту формулу к нашим произведениям:

1. Для A * B:
A * B = (1/2)(cos(2π/7 + 4π/7) + cos(2π/7 - 4π/7)) = (1/2)(cos(6π/7) + cos(-2π/7)) = (1/2)(cos(6π/7) + cos(2π/7))
2. Для A * C:
A * C = (1/2)(cos(2π/7 + 6π/7) + cos(2π/7 - 6π/7)) = (1/2)(cos(8π/7) + cos(-4π/7)) = (1/2)(cos(8π/7) + cos(4π/7))
3. Для B * C:
B * C = (1/2)(cos(4π/7 + 6π/7) + cos(4π/7 - 6π/7)) = (1/2)(cos(10π/7) + cos(-2π/7)) = (1/2)(cos(10π/7) + cos(2π/7))

Теперь подставим все это обратно в наше уравнение:

(1/2)(cos(6π/7) + cos(2π/7)) + (1/2)(cos(8π/7) + cos(4π/7)) + (1/2)(cos(10π/7) + cos(2π/7))

Объединим все косинусы:

Это будет равно:

(1/2)(2cos(2π/7) + cos(6π/7) + cos(4π/7) + cos(8π/7) + cos(10π/7))

Теперь мы можем упростить это выражение. Заметим, что:

• cos(8π/7) = -cos(6π/7)
• cos(10π/7) = -cos(4π/7)

Таким образом, все косинусы взаимно уничтожаются:

cos(6π/7) + cos(8π/7) = 0 и cos(4π/7) + cos(10π/7) = 0

В итоге мы получаем:

(1/2)(2cos(2π/7)) = cos(2π/7)

Таким образом, окончательный ответ:

cos(2π/7)

Это и есть значение данного уравнения.