Как найти решение уравнения lg(2-x) + lg(1-x) = lg(12)?

Алгебра 9 класс Логарифмические уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение алгебра 9 класс lg(2-x) lg(1-x) lg(12) Новый

Чтобы решить уравнение lg(2-x) + lg(1-x) = lg(12), начнем с применения свойства логарифмов. Мы знаем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

• lg(a) + lg(b) = lg(a * b).

Таким образом, наше уравнение можно переписать следующим образом:

lg((2-x)(1-x)) = lg(12).

Теперь, так как логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы:

(2-x)(1-x) = 12.

Теперь раскроем скобки:

2 - 2x - x + x^2 = 12.

Упрощаем это выражение:

x^2 - 3x + 2 = 12.

Теперь перенесем 12 в левую часть уравнения:

x^2 - 3x + 2 - 12 = 0.

Это уравнение можно упростить:

x^2 - 3x - 10 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -3, c = -10.

Теперь подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.
• √49 = 7.

Теперь подставим это значение в формулу:

• x1 = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5,
• x2 = (3 - 7) / 2 = -4 / 2 = -2.

Таким образом, мы получили два корня: x1 = 5 и x2 = -2.

Теперь нам нужно проверить, подходят ли эти значения для исходного уравнения, так как логарифм определен только для положительных аргументов.

• Для x1 = 5:
• 2 - 5 = -3 (логарифм не определен).
• Для x2 = -2:
• 2 - (-2) = 4 (положительно),
• 1 - (-2) = 3 (положительно).

Таким образом, только x2 = -2 подходит под условия логарифмов. Следовательно, решение уравнения:

x = -2.