Как найти решение уравнения sin2x + tgx = 2?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 9 класс sin2x tgx уравнение 2 тригонометрические функции математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение sin(2x) + tg(x) = 2, следуем поэтапно. Начнем с того, что мы знаем, что sin(2x) можно выразить через sin(x) и cos(x) с помощью формулы:

• sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Также tg(x) можно выразить как:

• tg(x) = sin(x) / cos(x)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

• 2 * sin(x) * cos(x) + sin(x) / cos(x) = 2

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на cos(x) (при условии, что cos(x) ≠ 0):

• 2 * sin(x) * cos^2(x) + sin(x) = 2 * cos(x)

Теперь объединяем подобные слагаемые:

• sin(x)(2 * cos^2(x) + 1) = 2 * cos(x)

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. sin(x) = 0
2. 2 * cos^2(x) + 1 = 2 * cos(x)

Рассмотрим первый случай:

• Уравнение sin(x) = 0 имеет решения x = n * π, где n - целое число.

Теперь рассмотрим второй случай:

• Перепишем уравнение 2 * cos^2(x) - 2 * cos(x) + 1 = 0.
• Это квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим y = cos(x), тогда уравнение примет вид:
• 2y^2 - 2y + 1 = 0

Теперь найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 2 * 1 = 4 - 8 = -4

Поскольку дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней. Таким образом, единственные решения уравнения sin(2x) + tg(x) = 2 получаются из первого случая:

• x = n * π, где n - целое число.

Таким образом, мы нашли все решения данного уравнения.