Как найти решение уравнения: sinx + cosx = -1?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения sinx + cosx = -1 алгебра 9 класс тригонометрические уравнения нахождение корней уравнения Новый

Чтобы решить уравнение sin(x) + cos(x) = -1, следуем следующим шагам:

1. Перепишем уравнение: Нам нужно выразить одну из тригонометрических функций через другую. Мы можем оставить уравнение в текущем виде, так как это уравнение уже достаточно простое.
2. Вспомним о максимальных и минимальных значениях: Значения функций sin(x) и cos(x) находятся в диапазоне от -1 до 1. Поэтому их сумма sin(x) + cos(x) может принимать значения от -2 до 2. Это значит, что sin(x) + cos(x) = -1 возможно.
3. Рассмотрим графически: Мы можем представить уравнение в виде sin(x) + cos(x) + 1 = 0. Это уравнение можно решить графически, но также мы можем воспользоваться известным методом преобразования.
4. Используем формулу: Мы знаем, что sin(x) + cos(x) можно выразить через одну тригонометрическую функцию. Для этого воспользуемся следующей формулой:
   • sin(x) + cos(x) = sqrt(2) * sin(x + π/4)
5. Подставляем в уравнение: Получаем уравнение sqrt(2) * sin(x + π/4) = -1.
6. Решим это уравнение: Для этого делим обе стороны на sqrt(2): sin(x + π/4) = -1/sqrt(2) или sin(x + π/4) = -√2/2.
7. Находим углы: Мы знаем, что sin принимает значение -√2/2 в следующих квадрантах:
   • x + π/4 = 7π/4 + 2kπ, где k - целое число
   • или x + π/4 = 5π/4 + 2kπ, где k - целое число
8. Решаем для x: Из этих уравнений находим x:
   • x = 7π/4 - π/4 + 2kπ = 6π/4 + 2kπ = 3π/2 + 2kπ
   • или x = 5π/4 - π/4 + 2kπ = 4π/4 + 2kπ = π + 2kπ
9. Итак, окончательные решения:
   • x = 3π/2 + 2kπ
   • x = π + 2kπ

Таким образом, мы нашли все решения уравнения sin(x) + cos(x) = -1.