Чтобы найти все значения числа p, при которых квадратичная функция y = (1/4)x² - 3px + p принимает только положительные значения, нам нужно проанализировать условия, при которых график этой функции не пересекает ось абсцисс.

Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где:

• a = 1/4 (коэффициент при x²),
• b = -3p (коэффициент при x),
• c = p (свободный член).

Чтобы функция была положительной для всех x, необходимо, чтобы:

1. Коэффициент a был положительным (в нашем случае это так, так как 1/4 > 0).
2. Дискриминант D был меньше нуля. Дискриминант для квадратного уравнения вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

Подставим наши значения:

D = (-3p)² - 4 * (1/4) * p

D = 9p² - p

Теперь нам нужно установить, когда D < 0:

9p² - p < 0

Для решения этого неравенства выделим общий множитель:

p(9p - 1) < 0

Теперь найдем корни этого произведения:

• p = 0,
• 9p - 1 = 0, отсюда p = 1/9.

Теперь мы имеем два корня: p = 0 и p = 1/9. Чтобы определить, на каких интервалах произведение p(9p - 1) отрицательно, рассмотрим знаки на интервалах:

• Интервал (-∞, 0): здесь p < 0, следовательно, произведение положительно.
• Интервал (0, 1/9): здесь p > 0 и 9p - 1 < 0, следовательно, произведение отрицательно.
• Интервал (1/9, +∞): здесь p > 0 и 9p - 1 > 0, следовательно, произведение положительно.

Таким образом, неравенство p(9p - 1) < 0 выполняется на интервале:

(0, 1/9)

Итак, все значения числа p, при которых квадратичная функция y = (1/4)x² - 3px + p принимает только положительные значения, находятся в интервале:

0 < p < 1/9