Как определить область определения функции Y = корень квадратный из (3x - x^2 + 18) / (корень квадратный из (x + 1))?

Алгебра 9 класс Область определения функции область определения функции алгебра 9 класс Корень квадратный функции математические функции решение уравнений графики функций алгебраические выражения анализ функций Новый

Чтобы определить область определения функции Y = √((3x - x² + 18) / √(x + 1)), нужно учитывать несколько условий, которые должны выполняться одновременно.

1. Условие для подкоренного выражения в числителе: Поскольку под корнем не может быть отрицательных значений, необходимо решить неравенство:
• 3x - x² + 18 ≥ 0
2. Условие для подкоренного выражения в знаменателе: В знаменателе также не может быть отрицательных значений, и кроме того, он не может равняться нулю. Поэтому нужно решить:
• x + 1 > 0

Теперь давайте разберем каждое из этих условий.

1. Решение неравенства 3x - x² + 18 ≥ 0:

Для удобства, перепишем это неравенство в стандартной форме:

-x² + 3x + 18 ≥ 0.

Теперь можно найти корни квадратного уравнения -x² + 3x + 18 = 0, используя дискриминант:

• D = b² - 4ac = 3² - 4*(-1)*18 = 9 + 72 = 81.

Корни уравнения:

• x₁ = (3 + √81) / (-2) = (3 + 9) / (-2) = -6 / -2 = 3,
• x₂ = (3 - √81) / (-2) = (3 - 9) / (-2) = -6 / -2 = 3.

Так как это квадратное уравнение, его график - парабола, открытая вниз. Значит, неравенство будет выполняться между корнями и на бесконечности:

3x - x² + 18 ≥ 0 при x ≤ 3.

2. Решение неравенства x + 1 > 0:

Это неравенство простое:

• x > -1.

Теперь объединим оба условия:

Мы имеем:

• x ≤ 3 (из первого условия),
• x > -1 (из второго условия).

Таким образом, область определения функции Y будет:

-1 < x ≤ 3.

Итак, окончательный ответ: Область определения функции Y = √((3x - x² + 18) / √(x + 1)) – это интервал (-1, 3].